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§5.4平面向量中的综合问题
重点解读平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
题型一平面向量在几何中的应用
例1(1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列命题正确的是()
A.若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)),则P是△ABC的垂心
B.若eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))),则直线AP必过△ABC的外心
C.若|eq\o(OA,\s\up6(→))|=|eq\o(OB,\s\up6(→))|=|eq\o(OC,\s\up6(→))|,则O为△ABC的外心
D.若eq\o(NA,\s\up6(→))+eq\o(NB,\s\up6(→))+eq\o(NC,\s\up6(→))=0,则N是△ABC的重心
答案ACD
解析对于A,由题意可得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))-eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))-eq\o(PC,\s\up6(→)))=eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=0,
所以PB⊥AC,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,故P为△ABC的垂心,故A正确;
对于B,如图设eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|),eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|),则|eq\o(AE,\s\up6(→))|=|eq\o(AF,\s\up6(→))|=1,
以AE,AF为邻边作平行四边形AEQF,则平行四边形AEQF为菱形,
则eq\o(AQ,\s\up6(→))=eq\o(AE,\s\up6(→))+eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|),
所以eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))=λeq\o(AQ,\s\up6(→)),
又因为AQ平分∠BAC,故AP必经过△ABC的内心,故B错误;
对于C,因为|eq\o(OA,\s\up6(→))|=|eq\o(OB,\s\up6(→))|=|eq\o(OC,\s\up6(→))|,所以O到△ABC的三个顶点距离相等,所以O为△ABC的外心,故C正确;
对于D,记AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,由题意eq\o(NA,\s\up6(→))+eq\o(NB,\s\up6(→))=2eq\o(ND,\s\up6(→))=-eq\o(NC,\s\up6(→)),则NC=2ND,同理可得NA=2NE,NB=2NF,则N是△ABC的重心,故D正确.
(2)(2023·南宁模拟)△ABC的外心O满足eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))=0,|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(2),则△ABC的面积为()
A.eq\f(2+\r(2),2)B.eq\f(1+\r(2),2)C.eq\r(2)D.2
答案B
解析设AB的中点为D,
则eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))=0可化为2eq\o(OD,\s\up6(→))+eq\r(2)
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