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《组合数》题型突破

重难点突破

1.组合数的运算与性质

(1)组合数公式的主要适用范围

形式

主要适用范围

乘积式:

求含有具体数字的组合数的值

阶乘式:

求含有字母的组合数的值

(2)组合数的性质及其应用

①性质的说明

意义:反映的是组合数的对称性,即从个不同元素中取出个元素的组合数与取出个元素的组合数相同

作用:当时,计算通常转化为计算

②性质的顺用、逆用、变形运用

顺用是将一个组合数拆成两个;逆用是“合二为一”;变形运用是的使用.三种使用方法为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.

2.解决有限制条件的组合应用题的策略

(1)“含”与“不含”问题

这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和位置.一般来讲,要先满足特殊元素和位置的要求,其余则“一视同仁”.若正面人手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.

(2)几何中的组合问题

在处理几何问题中的组合应用题时,应先明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系,将几何问题抽象成组合问题来解决.

3.分组与分配问题

(1)不同元素的分组、分配问题是经常遇到的一类问题,首先要搞清楚是分组问题还是分配问题.

①分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:

A.完全均匀分组,每组的元素个数均相等;

B.部分均匀分组,应注意不要重复,若有组均匀,最后必须除以!;

C.完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.

②分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.

(2)相同元素分配问题的解决方法(隔板法):将个相同的元素分给个不同的组,每组至少有1个元素,共有种方法.可描述为个空中插一块板.

4.排列、组合的综合应用问题

(1)正确区分“有序”“无序”:区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”,无序的问题用组合的知识解答,有序的问题用排列的知识解答.

(2)排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准,哪些事件看成元素或位置,随解题者的思维方式的变化而变化,要视具体情况而定.有时“元素选位置”解决问题更简捷,有时“位置选元素”效果会更好.

典型例题剖析

题型1组合数的性质的运用

例1计算:(1);

(2).

解析:利用组合数的公式及性质进行计算.

答案:

(2).

总结归纳组合数公式体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式的主要作用有：

(1)计算较大时的组合数;

(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.

特别地,当计算时,若,则用性质转化可以减少计算量.

变式训练1解方程.

答案:由原方程及组合数性质可知或,解得或.而当时,,不符合组合数的定义,故舍去.因此.

题型2有限制条件的组合问题

例2(1)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议,则至少有1名女生参加的情况有多少种?

(2)学校邀请了4位学生的父母共8人,并请这8位家长中的4位分享其对子女的教育经验,如果这4位家长中至多有一对夫妻,那么不同的选择方法有多少种?

解析:(1)选出的3人中至少有1名女生,有三类情况:(1)2名男生和1名女生;(2)1名男生和2名女生;(3)3名女生.也可用间接法,用总的选法数减去全部是男生的选法数.(2)应分类考虑,第1类,4位分享经验的家长中没有任何两个人是夫妻;第2类,4位分享经验的家长中仅有一对夫妻.在每一类中应分两个步骤去解决问题:第1步,先确定家长来自哪个家庭;第2步,在选出的家庭中确定具体的人来分享子女的教育经验.也可以采用间接法.

答案:(1)方法一(直接法):第1类,从5名男生中选出2名男生,从4名女生中选出1名女生,选法种数为;第2类,从5名男生中选出1名男生,从4名女生中选出2名女生,选法种数为;第3类,从4名女生中选出3名女生,选法种数为.根据分类加法计数原理知,选法种数为.

方法二(间接法):从所有的9名学生中选出3名,有种选法,其中全为男生的有种选法.所以选出3名学生,至少有1名女生的选法种数为.

(2)方法一(直接法):4位分享经验的家长可分两类.

第1类,4位分享经验的家长中任何两个人都不是夫妻,即4位分享经验的家长来自4个家庭,每个家庭是父亲分享经验还是母亲分享经验都有两种情况,所以其选择方法种数为;第2类,4位分享经验的家长中仅有一对夫妻,即4位作介绍的家长中有2位为同一个家庭的父亲和母亲,其选法有种,另外2位家长从另外三个家庭中的两个家庭中选,其选法有种,并且被选中的家庭是父亲分享经验还是母亲分享经验都有两种情况,其选法有种.根据分步乘法计数原理知,分享经验的家长的选法种数为.根据分类加法计数原理