新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲 等比数列及其前n项和 (高频精讲）（解析版）.doc

第03讲等比数列及其前项和

目录

TOC\o1-3\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高考真题回归 2

第三部分：高频考点一遍过 4

高频考点一：等比数列定义 4

高频考点二：等比中项 6

高频考点三：等比数列通项公式 7

角度1：等比数列基本量计算 7

角度2：定义法证明或判断 8

高频考点四：等比数列的性质 11

高频考点五：等比数列的函数特征 13

角度1：等比数列的单调性 13

角度2：求等比数列的最大（小）项 14

高频考点六：等比数列的前项和基本量计算 16

高频考点七：等比数列的前项和性质 19

角度1：等比数列片段和性质 19

角度2：等比数列奇偶项和 20

第四部分：数学文化题 23

第五部分：高考新题型（开放性试题） 27

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第一部分：知识点必背

1.等比数列的概念

(1)等比数列的定义

一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.

(2)等比中项

如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项?，，成等比数列?.

2.等比数列的有关公式

(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.

(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.

3.等比数列的性质

设数列是等比数列，是其前项和．

(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．

(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．

第二部分：高考真题回归

1．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（????）

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【详解】解：设等比数列的公比为，

若，则，与题意矛盾，

所以，

则，解得，

所以.

故选：D.

2．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【详解】∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

3．（2022·全国（甲卷文理）·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【详解】（1）因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

（2）[方法一]：二次函数的性质

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时，．

[方法二]：【最优解】邻项变号法

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，即有.

则当或时，．

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：等比数列定义

典型例题

例题1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列中，，，为其前项和，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，

∴，

故选：B.

例题2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．

【答案】

【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，

所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

因此，.

故答案为：.

练透核心考点

1．（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】由题意可得：，

即，且，

所以数列是以首项，公比的等比数列，则，

可得，

当时，，且满足上式，

故，

可得，即数列是以首项，公比的等比数列，

可得，

综上可得：，，，.

故A、C正确，B、D错误.

故选：AC.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________.

【答案】

【详解】因为在数列中，，，则，所以，，

所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，

因为、是函数的两个零点，

由韦达定理可得，

因为，可得，所以，，

由等比中项的性