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《函数的单调性》教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

函数的概念及表示方法，全称量词与存在量词的写法.

教师提出问题，学生回答.

为研究函数的性质做准备.

概念形成

1.要求学生分别画出函数，的图象.（画图象的步骤：列表、描点、连线）

2.多媒体上展示这两个函数图象，从列表到图象分析函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.

3.思考：

函数，各有怎样的单调性？

4.增函数、减函数的定义.

一般地，设函数的定义域为，区间：

如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递增（减）.

特别地，当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.

如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.

教师巡视指导学生画图.学生画完图后教师提出问题：各个函数图象反映了相应函数的哪些变化规律？学生交流讨论.

教师操作课件引导学生发现规律，学生观察表中值变化、值变化与图象升降变化关系，相互交流.

如：以函数的图象为例进行说明：

当时，随值的增大，的值在减小；

当时，随值的增大，的值在增大.

教师引导学生结合初中学习的相关知识，分别画出这两个函数的图象，然后根据函数图象判断其单调性.

安排两名同学到黑板上进行板演，其余同学在导学案上进行.

教师引导归纳学生分组探讨，如何描述这种性质？

学生观察函数图象，并发表自己的见解.不同函数，其变化趋势可能不同；同一函数在不同区间上的变化趋势也不一定相同.函数图象的这种变化规律反映了函数的一个重要的性质即函数的单调性.

师生共同得出增函数结论.

教师提出问题：结合图象并类比增函数的定义，由学生概括出减函数的定义.

锻炼学生的动手实践能力，为提出下一步问题做好准备，让学生从形的角度认识函数的性质.

培养学生直观想象的数学素养.

培养学生动手的能力，进一步让学生从形的角度认识函数的性质.

从形象到抽象，培养学生的数学抽象的数学素养.

概念深化

1.如图所示.

（1）强调定义中“任意”二字，它仅对于区间而不是定义域而言.

（2）一致性：自变量，与因变量，，若且则为增函数，反之为减函数（如下图）.

2.思考：

（1）设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，，当时，都有，我们能说在区间上单调递增吗？你能举例说明吗？

（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

组织学生从两个图象上认识问题.

观察自变量的变化情况，以及函数值的变化情况.

引导学生用数学语言进行表述，加强关于“任意”的理解，以及“一致性”的记忆.

教师引导学生紧扣定义进行判断（1）的正确与否，学生可以进行小组讨论.

关于（2）组织学生在小组内进行举例，评判，然后以小组为单位汇总后进行回答.

在定义的基础上让学生加深对本课时内容的理解.

在熟练掌握单调性定义的基础上，激发学生的潜能，达到多思多说的目的，进一步让学生加深对本课时内容的理解.

应用举例

1.例1

根据定义，研究函数

的单调性.

多媒体屏上展示.

2.例2

例3

学生练习教材第81页练习第3题.

教师操作课件，引导学生自己解决问题，让学生板演.

提出：根据函数单调性的定义，考察当时，还是？

根据实数大小比较的基本事实，只要考察与0的大小关系即可.

学生分组练习交流讨论，教师巡视，收集信息及时评价.

学生自学例2，例3，

教师引导归纳.

点拨学生概括用定义证明增（减）函数的步骤.

学生练习，教师作好巡视指导.

锻炼应用能力、操作能力.

进一步加深对增（减）函数的认识，学习单调区间的概念，培养学生阅读自学的能力、抽象概括能力.

归纳小结

1.知识：①概念：增（减）函数、单调区间

②证明增（减）函数（定义法）的步骤：

取值（设）作差变形定号结论.

2.方法：观察法（利用函数图象）、定义法（利用函数的单调性定义）.

学生相互交流收获与体会，并进行反思.

关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验与收获.

布置作业

1.教材第85页第10题.

学生独立完成.

教师批阅.

板书设计

第1课时函数的单调性一、复习

1.函数的概念

2.全称量词与存在量词

二、概念

1.增（减）函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间：如果，，当时，都有

，那么就称函数在区间上是单调递增（减）

特别地，当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.

2.单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，