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(2024版)
专题三平面向量
【题型分析】
考情分析:
1.平面向量的线性运算常与平面向量数量积结合命题.
2.平面向量数量积的运算及其应用是高考的热点,主要以小题的形式考查.
题型1平面向量的线性运算
例1(1)(2022年新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=().
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)(2024年天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=12DE,BE=λBA+μBC,则λ+μ=;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则AF·DG的最小值为
方法总结:
1.利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两个向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
(4)OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
2.解决向量问题的两个常见思路
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则、三角形中位线定理及相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向量线性表示.
1.已知等边△ABC的边长为1,D,E分别为AB,BC的中点,若DF=3EF,则AF=().
A.12AB+56AC
C.12AB+AC D.1
2.在△ABC中,已知DC=3BD,P为线段AD的中点,若BP=λBA+μBC,则1λ+1μ=
题型2平面向量数量积的运算
例2(1)(2024年新高考全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=().
A.12 B.22 C.32
(2)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,|AB|=6,|AC|=3,AM=2MB,CN=NM,则AN·CB=().
A.-9 B.172 C.9
方法总结:
1.平面向量数量积的两种运算方法
(1)定义法:当向量的模和夹角已知时,可利用定义法a·b=|a||b|cosa,b求解,适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题.
(2)坐标法:当平面图形易建系求出各点坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
2.灵活运用平面向量数量积的几何意义
根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向量,则cosa,b=a·b|a||b|(夹角公式),a⊥
3.计算向量的模的方法
(1)当向量有坐标或适合建坐标系时,可用模的计算公式.
(2)利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,
(3)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等公式求解.
1.(原创)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在线段AB上,且满足AD=CD=BC=2,则AC·BD=().
A.-1-5 B.-1+5 C.5 D.-1-
2.(原创)在矩形ABCD中,AC=m,平面内一动点P满足AP=n,则PB·PD的取值范围为.
【真题改编】
1.(2024年新高考全国Ⅰ卷,T3改编)已知向量a=(1,1),b=(2,x),c=(0,1),若a∥b,则c·(b-4c)=().
A.1 B.-1 C.-2 D.2
2.(2024年全国甲卷,理科T9改编)已知向量a=(x+1,x),b=(x-1,3x),则().
A.“a⊥b”的充分条件是“x=2”
B.“a⊥b”的必要条件是“x=-12
C.“a∥b”的充分条件是“x=0”
D.“a∥b”的必要条件是“x=-2”
3.(2023年全国甲卷,文科T3改编)已知a+b=(5,3),a-b=(1,-1),则cosa,b=().
A.25 B.105 C.255
4.(2023年全国甲卷,理科T4改编)已知向量a,b,c满足|a+b|=|a-b|=|c|,|a|=|b|,且cosa,c=cosb,c0,若a·c=-1,则|a|=().
A.4 B.2 C.2 D.1
5.(2024年新高考全国Ⅱ卷,T3改编)已知非零向量a,b满足|a|=2,|a+4b|=2,且(a-λb)⊥b,则a在b上的投影向量为().
A.b B.-b
C.2b D.-2b
6.(2023年新高考全国Ⅱ卷,T13改编)已知向量a,b满足|2a+b|=|2a-b|,|a+2b|=|4a-b|,
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