【高考题型分类突破】专题08 空间角与距离 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）.docxVIP

（2024版）

专题八空间角与距离

【题型分析】

考情分析：

从近几年高考的情况来看，空间角、距离问题是高考常考内容，试题难度中等，命题常以柱体、锥体为背景.在2025年的高考备考中，同学们要掌握运用向量法求解空间角和距离问题，要特别重视坐标系的建立，同时要加强对运算求解能力的训练.

题型1求空间角

异面直线所成的角

例1如图，已知圆柱O1O2的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E为下底面圆周上一点，满足BE=2AE，则异面直线AE与BO1所成角的余弦值为().

A.55 B.510 C.310

方法总结：

1.用向量法求异面直线所成的角

若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，

则cosθ=|cosu，v|=u·v|u||

2.用定义法求异面直线所成的角

通过平移找到所求的异面直线所成的角.

用平移法求异面直线所成的角的基本步骤如下：

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，那么它就是要求的角；如果求出的角是钝角，那么它的补角才是要求的角.

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，高为h，记异面直线A1C与BC1所成的角为θ，下列结论正确的是().

A.若a=h，则cosθ=1

B.若cosθ=14，则

C.若a=2h，则θ=90°

D.若θ=60°，则h=2a

直线与平面所成的角

例2如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，BC=22，△PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，O，F分别是BC，PC的中点，AC与BD交于点E.

(1)求证：BD⊥平面PAO.

(2)设平面OEF与直线PD交于点Q，求直线OQ与平面PCD所成的角θ的大小.

方法总结：

求解直线与平面所成角的方法

(1)定义法：

①作：在斜线上选取恰当的点，过该点向平面引垂线，作出所求角，其中确定垂足的位置是关键.

②证：证明所作的角为直线与平面所成的角.

③求：构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角.

(2)向量法：sinθ=|cosAB，n|=|AB·n||AB||n|(其中AB为平面α的斜线，n

1.(2024年新高考全国Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则直线A1A与平面ABC所成角的正切值为()

A.12 B.1 C.2 D.

2.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，AA1⊥平面ABC，设平面AB1C1∩平面ABC=l，点E，F分别在直线l和直线BB1上，且满足EF⊥l，EF⊥BB1.

(1)证明：EF⊥平面BCC1B1.

(2)若直线EF和平面ABC所成角的正弦值为33，求该三棱台的高

平面与平面所成的角

例3如图，在三棱锥D-ABC中，DA⊥底面ABC，AC=BC=DA=1，AB=2，E是CD的中点，点F在DB上，且EF⊥DB.

(1)证明：DB⊥平面AEF.

(2)求平面ADB与平面DBC夹角的大小.

方法总结：

1.利用二面角的定义求二面角的大小

(1)找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；

(2)证明所找的角就是要求的角；

(3)把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.

2.用向量法求两个平面的夹角

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角，用坐标法解题的步骤如下：

(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.

(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.

(3)计算：设两个平面的夹角为θ，则cosθ=|n

1.(2024年新高考全国Ⅰ卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3.

(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC.

(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求

2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2AA1，E是棱BC的中点.

(1)证明：A1C∥平面AB1E.

(2)求二面角A-B1E-A1的大小.

题型2向量法求距离

点到线的距离

例4如图，该空间几何体是由以AD为轴的14圆柱与以ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成的，其中AD为半圆柱的母线，G为CD的中点

(1)证明：平面BDF⊥平面BCG.

(2)当AB=4，平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为155时，求点E到直线BG的距离

方法总结：

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)求直线的方向向量.

(2)计算所