【高考题型分类突破】专题14 概率 2025年高考数学二轮专题复习 学案（含答案）.docxVIP

（2024版）

专题十四概率

【题型分析】

考情分析：

1.排列、组合、二项式定理是高考的重要考点，以小题为主，难度中等或偏下.

2.古典概型、条件概率、相互独立事件的概率以及全概率公式是高考的热点，以小题为主，难度中等.

3.离散型随机变量的分布列、均值、方差常常结合在一起，主要考查均值、方差的计算以及应用，以大题为主.

4.超几何分布、二项分布常与均值、方差结合考查，正态分布主要以小题的形式考查，偶尔也作为解答题的其中一问考查.

题型1排列、组合与二项式定理

排列与组合

例1(1)(2024年新高考全国Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11

21

31

40

12

22

33

42

13

22

33

43

15

24

34

44

(2)(2024年上海卷)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为.

方法总结：

1.常用列举法和分类讨论法求解简单的排列组合问题.

2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法，这些方法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

3.对于分堆与分配问题应注意三点：(1)处理分配问题要注意先分堆再分配；(2)被分配的元素是不同的；(3)分堆时要注意是否有重复.

1.甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录员”“计分员”“宣传员”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰好选择同一岗位的选法有()种.

A.18 B.27 C.36 D.72

2.(湘教版选择性必修第一册P208T11改编)用四种不同的颜色给三棱台ABC-A1B1C1的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色.

若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.

二项式定理

例2(1)(2024年北京卷)在(x-x)4的展开式中，x3的系数为().

A.6 B.-6 C.12 D.-12

(2)(2024年全国甲卷)13+x10的展开式中，各项系数中的最大值为.

方法总结：

二项展开式系数最大项的求法：如求(a+bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k个系数最大，利用Ak≥

1.3x+1x8的展开式中，x-4的系数为.

2.(改编)x-1x6的展开式中，系数最小的项的二项式系数为.

题型2随机事件的概率

古典概型

例3(1)(2024年全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是().

A.14 B.13 C.12

(2)(2024年全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的3个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于12的概率为

方法总结：

1.古典概型的样本点个数的探究方法有枚举法、树状图法、排列组合法.

2.当所求概率的事件较复杂时，可把其分解为若干个互斥事件的和事件求解.

1.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是().

A.1225 B.1325 C.2225

2.(改编)三位男同学和两位女同学随机站成一列，则两位女同学不相邻的概率是.

相互独立事件的概率

例4(2023年天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为.

方法总结：

相互独立事件的概率的求法

(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)间接法：正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子(四个面上的数字分别为1，2，3，4)，若骰子与桌面接触的面上的数字为1或2，则再抛掷一次，否则停止抛掷(最多抛掷2次).抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为().

A.916 B.716 C.38

条件概率与全概率公式

例5(1)已知口袋中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，现进行不放回摸球，每次摸一个，则在第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为().