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高中数学精编资源
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《空间向量及其运算》能力探究
简单问题解决能力利用空间向量的共线定理证明三点共线
证明空间三点共线的三种思路:对于空间三点,可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数,使成立.
(2)对空间任一点,有.
(3)对空间任一点,有.
通常情况下,我们使用第一种或者第三种较多,若使用第一个结论证明三点共线,先确定任意两个向量,找到它们之间的关系.就可以确定三点共线;若使用第二种或第三种来证明三点共线,先需在空间中任意找一点,找到这一点与三点组成向量的关系,从而判断三点共线.
典例1、[逻辑推理]如图,在正方体中,在上,且在对角线上,且.
求证:三点共线.
思路:本题通过运用空间向量的线性运算推理出,的关系,来判断三点共线.
证明:设,
因为,
所以,
所以,
,
所以
又,
所以,所以三点共线.
分析计算能力利用向量数量积求夹角问题
利用向量数量积求夹角问题的思路：
（1）求两个向量的夹角有两种方法
①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围：
②先求再利用公式，求出的值，最后确定的值.
（2）求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量）；
②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小.
典例2、[逻辑推理、数学运算]如图,在空间四边形中,,,求异面直线与的夹角的余弦值.
思路:本题主要考查利用向量的数量积求异面直线及其所求的角,解题的关键是将异面直线与的夹角转化为与的夹角.
解析：∵,
∴.
∴,
∴异面直线与的夹角的余弦值为.
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