新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第10讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题）（解析版）.doc

第10讲高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题）

目录

TOC\o1-1\h\u高频考点一：椭圆中的定值问题 1

高频考点二：椭圆中的定直线问题 8

高频考点三：双曲线中的定值问题 16

高频考点四：双曲线中的定直线问题 25

高频考点五：抛物线中的定值问题 32

高频考点六：抛物线中的定直线问题 37

高频考点一：椭圆中的定值问题

典型例题

例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线，交椭圆于，两点，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）短轴长为2，离心率为．

，，又，

解得，．

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设，则直线l的方程为，

??

联立可得．

设，，则，，

∴

．

∴为定值．

例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点，．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线和直线的斜率分别为和，求的值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题意，，，且，解得，．

故椭圆E的方程为．

（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋2，设，．

将y＝kx＋2代入，消去y得；消去x得．于是

，，，．

∴

．

当直线l的斜率不存在时，，，此时．

综上，．

例题3．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆，且过两点．

(1)求椭圆的方程和离心率；

(2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，，分别是，的中点试探究：与的面积之比是否为定值？

若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)4

【详解】（1）由题意可得，解得，

则的方程；

（2）

由已知可得直线的斜率存在，且不为，也不为，

设直线，（且），联立可得，

方程的判别式，

设，，，

则，.

所以，，

所以，

因为两直线斜率互为倒数，则，

用代换点坐标中的得.

所以，

所以直线即

所以恒过定点，

设点、到直线的距离分别是，，

则.

与的面积之比是定值，定值为4.

练透核心考点

1．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．

(1)求的标准方程；

(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）依题意得：

，

解得．

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为直线过原点，设，，．

所以，，

所以

又因为，，

所以

所以是定值．

2．（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．

??

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【详解】（1）因为椭圆过点，，且AM的斜率为，

所以，

解得，，

所以椭圆E的方程为

（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，

设，，

由，得，

，得，

则，，

因为，直线AD的方程为，

令，解得，

则，同理可得，

所以

为定值，

所以为定值，该定值为

3．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.

??

(1)求椭圆的离心率；

(2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值；

(3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)为定值，

【详解】（1）因为，所以，

又，所以，解得，

所以椭圆E的的离心率.

（2）设直线的方程为，

联立，得，

设，，，则，，

因为原点为的重心，所以，，

所以.

（3）因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或，

当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，

将或者代入椭圆方程，均求得，

又点到直线的距离均为3，因此.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由（2）知，，

，，

因为在椭圆上，代入椭圆方程可得，

化简得，

又

，

到直线AB的距离为：

，

所以为定值.

综上所述，的面积是为定值.

高频考点二：椭圆中的定直线问题

典型例题

例题1．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点，．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答