新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题19 平面向量的概念与运算及几何性质（解析版）.doc

专题19平面向量的概念与运算及几何性质№

专题19平面向量的概念与运算及几何性质

№考向解读

?考点精析

?真题精讲

?模拟精练

?专题训练

（新高考）高考数学一轮复习

（新高考）

高考数学一轮复习

专题19平面向量的概念与运算及几何性质

命题解读

命题预测

复习建议

平面向量的概念与运算这一部分，高考的考察比较少，主要集中在向量的运算以及它的几何性质部分，对于平面向量的运算，要注意运算的法则，注意向量是矢量这一知识点。

预计2024年的高考对于平面向量的概念及运算部分考察还是以小题为主，如果出题可能以选择题的形式出现。

集合复习策略：

1.理解平面向量的概念，几何表示；

2.掌握平面向量的运算及几何意义。

→?考点精析←

一、平面向量的概念

1．平面向量的有关概念

名称

定义

表示

向量

在平面中,既有大小又有方向的量?

用a,b,c,…或AB,BC,…表示

向量的模

向量a的大小,也就是表示向量a的有向线段AB的长度(或称模)?

|a|或|AB|

零向量

长度为0的向量?

用0表示?

单位向量

长度等于1个单位的向量?

用e表示,|e|=1

平行向量

方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)?

a∥b

相等向量

长度相等且方向相同的向量?

a=b

相反向量

长度相等,方向相反的向量?

向量a的相反向量是-a

2.说明:零向量的方向是不确定的、任意的.?

规定:零向量与任一向量平行.?

二、平面向量的线性运算

1.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算?

三角形法则?

平行四边形法则?

(1)加法交换律:a+b=b+a;?

(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

减法

减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

三角形法则?

a-b=a+(-b)

数乘

实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,?记作λa

(1)|λa|=|λ||a|.?

(2)当λ0时,λa与a的方向相同;当λ0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0

(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)=λa+λb;?

(2)对实数加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a

2.常用三角公式

向量的共线定理

向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使b=λa.?

→?真题精讲←

1.（2023全国甲卷4）已知向量满足，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为,所以,

即,即,所以.

如图,设,

由题知,是等腰直角三角形,

AB边上的高,

所以,

,

.

故选:D.

2.（2023全国文科乙卷6）正方形的边长是2，是的中点，则（）

A. B.3 C. D.5

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知，

则，

所以；

方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，可得，

所以；

方法三：由题意可得：，

在中，由余弦定理可得，

所以.

故选：B.

3.（2023全国理科乙卷12）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）

A. B.

C D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.

【详解】如图所示，，则由题意可知:，

由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

综上可得，的最大值为.

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

4.（2023天津卷14）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．

【答案】①.②.

【解析】

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

【详解】空1：因为为的中点，则，可得，

两式相加，可得到，

即，则；

空2：因为，则，可得，

得到，

即，即.

于是.

记，

则，

中，根据余弦定理：，

于是，

由和基本不等式，，

故，当且仅当取得等号，

则时，有最大值.

故答案为：；.

5.（2023全国