第3讲 等比数列的概念及其通项公式(教师版).docx

数列专题

数列专题

引子:

数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;

数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;

好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;

她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。

第3讲等比数列概念及其通项公式

思维导图

思维导图-----知识梳理

脑洞

脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶

思维导图

思维导图-----典型题型讲练

考点一等比数列的判断或证明

思维导图

思维导图-----方法梳理

定义法：数列{an}若满足=q(q为常数)称为等比数列

若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.

围观

围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹

例1.（2021·全国高二专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（）

A．q，2q，4q，6qB．q，q2，q3，q4

C．q，2q，4q，8qD．，，，

【答案】D

【解析】对于A、B、C：当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误；

对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确，故选：D

例2.（2021·全国高二课时练习）已知数列满足，，且，

设，求证是等比数列

【答案】证明见解析

【解析】证明：因为，

所以，又因为，

所以是以首项为3，公比为3的等比数列.

例3.（2021春?和田市校级期中）已知{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1，

（1）求证：{an+1}是等比数列；

（2）求这个数列的通项公式an．

【解题思路】（1）由数列的递推公式可得{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列，

（2）由（1）可得an+1＝4×2n﹣1，问题得以解决

【解答过程】证明：（1）a1＝3，an+1＝2an+1，∴an+1+1＝2（an+1），

∵a1＝3，∴a1+1＝4，∴{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列，

解：（2）由（1）可得an+1＝4×2n﹣1，∴an＝2n+1﹣1

例4.（2021春?张家港市校级月考）已知数列{an}满足a1=78，且an+1=12an+13

（1）求证：{an-23

（2）求数列{an}的通项公式．

【解题思路】（1）对an+1=12an+13进行变形处理得到：an+1-23=1

（2）根据{an-23}是以524为首项，12为公比的等比数列来推知数列{

【解答过程】（1）证明：由已知得：an+1-23=12an-

因为a1=78，所以a1

所以{an-23}是以524

（2）解：由（1）知，{an-23}是以524

所以an-23=524?（12）n﹣1，所以an=524

套路

套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫

1.（2021·全国高二课时练习）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为数列是等比数列，所以，

对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；

对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；

对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列；

对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；故选C.

2．（2021·全国高二课时练习）设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：①；

②(为非零常数)；③；④其中是等比数列的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】设数列的公比为，则，

对于①，因为是常数，所以是等比数列；

对于②，因为是常数，所以是等比数列；

对于③，因为是常数，所以是等比数列；

对于④，因为是常数，所以是等比数列；

所以①②③④都是等比数列，所以等比数列有个，故选：D.

3．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））已知数列，，，.

（1）求证：是等比数列；

（2）设（），求数列的前项和.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）依题意，，

所以，是首项为2、公比为2的等比数列.

（2）由（1）得：，，

数列的前项和为.

4．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．

（1）求证：{bn}是等比数列；

（2）求{an}的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.

【解析】（1）证明：∵an＋1＝2