第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (高频考点—精讲）（解析版）.docx

第05讲正弦定理和余弦定理的应用

(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：解三角形应用举例

角度1：测量距离问题

角度2：测量高度问题

角度3：测量角度问题

高频考点二：求平面几何问题

高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

1、基线

在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.

2、仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

3、方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是.

4、方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，

例：(1)北偏东：(2)南偏西：

5、坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即.

第二部分：典

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：解三角形应用举例

角度1：测量距离问题

典型例题

例题1．（2022·北京大兴·高一期末）如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，故，由正弦定理，，故m

故选：D

例题2．（2022·河南南阳·高一阶段练习）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点处开始做匀速直线运动，到达点时，发现乙同学踢着足球在点处正以自己速度的向做匀速直线运动，已知．若忽略甲同学转身所需的时间，甲同学最快拦截乙同学的点是线段上的点D，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】如图，连接，设，则，

在中，由余弦定理得，，

代入整理可得，即

解得或（舍去）．

所以.

故选：A

例题3．（2022·河南河南·高一期末）开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一．1961年，被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．某司机驾车行驶到M处，测得铁塔S在汽车的北偏东15°，与铁塔S相距20公里，汽车继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得铁塔在汽车的北偏东45°，则汽车的速度为________公里/时．

【答案】

【详解】如图所示，由题意可知∠SMN＝15°+90°＝105°，∠SNM＝45°，SM＝20，∴∠NSM＝30°，

在中，由正弦定理可得，

即，解得，

∴汽车的速度为（公里/时）．

故答案为：．

题型归类练

1．（2022·全国·高三专题练习）现只有一把长为的尺子，为了求得某小区草坪边缘两点的距离（大于），在草坪坛边缘找到点与，已知，且，测得，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以.

因为，所以，

所以.

故选：C

2．（2022·河南·高一期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．

【答案】

【详解】由题意可知，AB＝300m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（m/s），

故答案为：．

3．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，求，两点之间的距离．

【答案】米.

【详解】根据已知条件：，，米，

所以：，

利用正弦定理：则，

所以(米)．

角度2：测量高度问题

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二期末）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（????）

A．20 B．16 C．27 D．9

【答案】A

【详解】由平面相似知识可知，，，所以，解得，从而．

故选：A．

例题2．（2022·四川成都·高一期末（文））为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为30°，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为60°，若，则铁塔的高度为_______米．

【答案】

【详解】设铁塔OT的高为，则可得

在中，则，即

解得

故答案为：．

例题3．（2022·全国·高一期中）如下图所示，为了测量山高，分别选择山下平地的处和另一座山的山顶处为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高米，则山高__________米．