1.2 空间向量基本定理（分层作业）高二数学同步备课系列（人教A版2019选修第一册）【含答案解析】.docxVIP

1.2空间向量基本定理（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量基本定理进行计算.

【详解】.

故选：A

2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，.

故选：D

3．（2022·全国·高二）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（???????）

A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．与共线 D．O，A，B，C四点共面

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理即可判断

【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面

故选：D

4．（2022·江苏·高二课时练习）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．

【详解】解：由题意和空间向量的共面定理，

结合，

得与、是共面向量，

同理与、是共面向量，

所以与不能与、构成空间的一个基底；

又与和不共面，

所以与、构成空间的一个基底．

故选：．

5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（???????）

A． B．C． D．

【答案】D

【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可

【详解】因为，所以，

所以

，

所以A错误

因为，所以，

所以

,

故选：D

6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可

【详解】，其中为中点，有，故可知，

则知为的中点，故点满足，．

故选：A

7．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．

【详解】

即

故选：D．

二、多选题

8．（2022·全国·高二）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（?????）A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】ABD

【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.

【详解】对于A，因为，故，，共面；

对于B，因为，故，，共面；

对于D，因为，故，，共面；

对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，

，故共面，

这与构成空间的一个基底矛盾，

故选：ABD

9．（2022·江苏南通·高二期末）已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（???????）

A．若，，则

B．若，，两两共面，则，，共面

C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得

D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底

【答案】AD

【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.

【解答】解：，，是空间的三个单位向量，

由，，则，故A正确；

，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；

由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；

若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．

故选：AD.

10．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（???????）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

D．若，则是钝角

【答案】ABC

【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．

【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，所以A正确；

对于B，若对空间中任意一点O，有因为，

根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；

对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面