1.2 集合间的基本关系（七大题型）.docxVIP

1．2集合间的基本关系

【题型归纳目录】

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题

题型二：韦恩图及其应用

题型三：由集合间的关系求参数的范围

题型四：集合间的基本关系

题型五：判断两集合是否相等

题型六：根据两集合相等求参数

题型七：空集的性质

【知识点梳理】

知识点一．集合与集合的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．

记作：

读作：A包含于B（或B包含A）．

图示：

（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．

记作：A

读作：A等于B．

图示：

知识点诠释：

（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．

（2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．

知识点二．真子集

若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．

记作：A?B（或BA）

读作：A真包含于B（或B真包含A）知识点三．空集

不含有任何元素的集合称为空集，记作：．

规定：空集是任何集合的子集．

结论：（1）（类比）

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

（3）若则（类比，则）

（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．

【典型例题】

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题

例1．（2023·全国·高一课堂例题）集合的所有子集的元素的和等于．

例2．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）满足的集合的个数为．

例3．（2023·全国·高一假期作业）集合，则集合的子集的个数为.

变式1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则满足条件的集合的个数为个.

变式2．（2023·全国·高一课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为．

变式3．（2023·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.

变式4．（2023·高一单元测试）已知集合，且；

(1)求实数；

(2)写出的所有真子集.

变式5．（2023·高一课时练习）写出下列集合的所有子集：

(1)；

(2)；

(3)．

【方法技巧与总结】

（分类讨论是写出所有子集的方法）

1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．

2、若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用．

题型二：韦恩图及其应用

例4．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是（填序号）.

例5．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）

A． B．

C． D．例6．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（????）

A． B． C． D．

变式6．（2023·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()

①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.

A．①③ B．②③

C．③④ D．③⑥

【方法技巧与总结】

Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用．

题型三：由集合间的关系求参数的范围

例7．（2023·山西运城·高二校考阶段练习）若集合，且，则实数a取值的集合为

例8．（2023·高一单元测试）已知，，且?，则a的取值范围为．

例9．（2023·上海·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是．

变式7．（2023·高一课时练习）已知集合，，若,求实数m的取值范围．

变式8．（2023·高一课时练习）设集合，，已知，求实数的取值范围．

变式9．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

变式10．（2023·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.

【方法技巧与总结】

（根据集合之间关系，求参数的值或范围）

1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示．

2、涉及“A?B”或“A?B，且B≠?”的问题，一定要分A=?和A≠?两种