九年级数学圆锥曲线期末复习3.doc

高二数学期末复习三

（圆锥曲线综合问题）

一、知识回顾

1．直线与圆锥曲线的位置关系：

在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.

注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“”.

②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.

2．弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则

，若弦AB所在直线方程设为，则＝。

注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。

3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.

4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等),以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

二、典型例题

例1．（1）椭圆上的点到直线的最短距离为；

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知ΔABO重心的横坐标为3（O为坐标原点），则|AB|=___10____

（3*）已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上，则此椭圆的离心率为

（4*）若椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为。[课本2-1P.64第6题]

（5）以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为.

（6）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和

上的点，则|PM|－|PN|的最大值为9

[解：P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和]

例2．如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明

为定值，并求此定值。

解：（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，

从而因此焦点的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为。

从而所求准线l的方程为。

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，

则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为xxxz，则

|FA|＝|AC|＝解得

，类似地有，解得

。记直线m与AB的交点为E，则

所

以。故。

解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。

将此式代入,得，故。

记直线m与AB的交点为，则，

，故直线m的方程为.

令y=0,得P的横坐标故。

从而为定值。

例3．在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。

求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。

解:椭圆方程可写为:eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1式中ab0,且EQ\b\lc\{(\a\al(a2－b2=3,\f(\r(3),a)=\f(\r(3),2)))得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+eq\f(y2,4)=1(x0,y0).y=2eq\r(1－x2)(0x1)，y=－eq\f(2x,\r(1－x2))

设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y0=2eq\r(1－x02),y|x=x0=－eq\f(4x0,y0),得切线AB的方程为:

y=－eq\f(4x0,y0)(x－x0)+y0.设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=eq\f(1,x0),y=eq\f(4,y0).

由=+得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为: