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创新方案高考数学复习人教新课标离散型随机变量及其分布列与超几何分布理高中数学

一、离散型随机变量及其分布列

1.随机变量

随机变量是指在随机试验中，可能取到不同数值的变量。比如掷一枚骰子，它可能会取到1、2、3、4、5、6中的任意一个数值。这样，我们可以定义一个随机变量X表示掷骰子的结果。即：X（n=1、2、3、4、5、6）表示掷骰子得到了1、2、3、4、5、6中的任意一个数值。

2.离散型随机变量

如果随机变量X取到的可能数值是有限的或是可数的，那么X就是离散型随机变量。比如，我们掷一枚骰子，那么X就是一个离散型随机变量。

3.分布列

分布列是指离散型随机变量X的所有可能取值及其相应的概率值的表格。比如，我们掷一枚骰子，把所有可能的取值n=1、2、3、4、5、6都写成X的取值，对应的概率是相等的，都是1/6。这样的分布列如下所示：

X123456

P(X)1/61/61/61/61/61/6

4.概率基本性质

对于一个随机事件A，有以下概率基本性质：

（1）非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。

（2）规范性：对于样本空间Ω中的所有事件A，必有P(Ω)=1。

（3）可列加性：若A1，A2，…，An互不相容，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

5.随机变量的期望

（1）离散型随机变量X的期望（或均值），即E(X)，可以看成是对该随机变量的所有可能取值的加权平均数，其公式为：

E(X)=Σ[Xi×P(Xi)](i=1，2，…，n)

（2）离散型随机变量X的期望具有以下线性性质：

aE(X)+bE(Y)=E(aX+bY)，其中a、b为任意常数。

二、超几何分布

1.定义

超几何分布指的是从总体中抽取n个样本后，其中k个具有某种性质的样本（好样本），超几何分布的概率表示为：

P(X=k)=C(M,k)×C(N-M,n-k)÷C(N,n)

其中N表示总体中元素的个数，M表示总体中好元素的个数，n表示样本容量，X表示n个样本中好元素的个数，k取遍0、1、2、…、min{n,M}这些整数。

2.性质

（1）期望：

E(X)=n×M/N

（2）方差：

D(X)=n×M×(N-M)÷{N(N-1)}

三、创新方案

针对离散型随机变量及其分布列和超几何分布的学习，我们可以采用以下创新方案：

1.制作分布列表格：学生可以自己设定一个离散型随机变量，制作对应的分布列表格，并观察分布列的特点。

2.小组探究超几何分布：学生可以分成小组，探究超几何分布的概率公式的发现过程，归纳并总结超几何分布的性质。

3.进行实际抽样实验：学生可以进行一些普通的抽样实验，并观察其符合不符合超几何分布的条件，进行检验。

4.进一步应用：学生可以将超几何分布的概率公式应用到实际问题中，比如从总体中抽取n件商品，其中k件有质量问题的概率等。

通过以上创新方案的学习，可以提高学生的学习兴趣和参与度，更好地理解和掌握离散型随机变量及其分布列和超几何分布的知识。同时，也可以为学生未来的学术研究奠定基础。