1.4.2 用空间向量解决角度问题（第2课时）（分层作业）高二数学同步备课系列（人教A版2019选修第一册）.docxVIP

1.4.2用空间向量解决角度问题（第2课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、概念填空

1．（2022·全国·高二专题练习）夹角

（1）求异面直线所成的角

若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______.

（2）求直线和平面所成的角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有______=_______.

（3）求二面角

如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______

（4）求平面与平面的夹角

平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________.

二、填空题

2．（2022·全国·高二课时练习）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______．

3．（2022·全国·高二课时练习）如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成角的大小为___________.

4．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成角的大小为___________.

5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为__________.

6．（2021·海南·三亚华侨学校高二阶段练习）如图，正方体中，，分别是，的中点，则_________，

7．（2022·全国·高二）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.

8．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为______．

9．（2021·福建·高二阶段练习）平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________.

三、单选题

10．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（???????）

A． B． C． D．

11．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（???????）

A．30° B．150° C．60° D．120°

12．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（???????）

A． B．

C． D．

13．（2021·全国·高二课时练习）在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（???????）.

A． B． C． D．

14．（2021·陕西汉中·高二期末（理））正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（???????）

A． B． C． D．

15．（2021·全国·高二单元测试）把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（???????）.

A． B． C． D．

四、多选题

16．（2022·广东·高二期末）给出下列命题，其中不正确的有（???????）

A．若，则是钝角

B．若，则与一定共线

C．若，则与为同一线段

D．非零向量??满足与，与，与都是共面向量，则??必共面

五、解答题

17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有单位正方体，点E是的中点，求直线与直线CE所成角的余弦值．

18．（2022·全国·高二课时练习）已知是正方体，求直线与直线所成角的大小.

19．（2022·全国·高二专题练习）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．

【能力提升】

一、单选题

1．（2023·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（?????）

A．

B．BD⊥平面ACC?

C．向量与的夹角是60°

D．直线BD?与AC所成角的余弦值为

二、多选题

2．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）在长方体中，，则下列命题为真命题的是（???????）

A．若直线与直线所成的角为，则

B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则

C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则

D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则

3．（2022·江苏