《用勾股定理解决最短路径问题》期末常考题型专练.docxVIP

《用勾股定理解决最短路径问题》期末常考题型专练

类型一平面上的最短路径问题

1.如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为1km和3km，且C、D相距3km，则铺水管的最短长度是()

A.5kmB.4kmC.3kmD.6km

2.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP的值最小，求EP+BP的最小值.

类型二几何体上的最短路径问题

3.如图所示的是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶的两个相对的顶点，A点有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，则这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬()

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

4.(2022河南郑州四中第一次月考)如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为20cm，则该圆柱的底面周长为()

A.12cmB.14cmC.20cmD.24cm

5.如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，长方体的高为3cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少.

答案全解全析

1.A如图，作点A关于直线l的对称点A，连接BA与直线l交于点P，此时PA+PB的值最小.

作AE∥l，交BD的延长线与点E，则BE⊥AE，

在Rt△ABE中，∵AE=3km，BE=1+3=4(km)，

∴AB2=AE2+BE2=32+42=25，

∴AB=5km，

∵PA+PB=PA+PB=AB=5km，

∴PA+PB的最小值为5km，

即铺水管的最短长度是5km.

2.解析如图，连接BD交AC于点O，连接ED与AC交于点P，连接BP，此时EP+BP的值最小.

易知B、D关于直线AC对称，

∴BP=PD，∴EP+BP=EP+PD=ED.

在Rt△ADE中，AE=3，AD=AB=1+3=4，

由勾股定理得ED2=32+42=25=52，

∴ED=5，∴EP+BP的最小值为5.

3.C将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为这只壁虎所爬的最短路线.

由题意知BC=30×3+10×3=120(cm)，AC=50cm，

在Rt△ABC中，根据勾股定理，

得AB2=AC2+BC2=16900，所以AB=130cm.

所以这只壁虎至少需爬130cm.

4.D如图，将容器侧面展开，则EG为上底面圆周长的一半，作A关于直线EG的对称点A，连接AB交EG于F，连接AF，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为AF+BF的长，即AF+BF=AB=20cm，

过A作AD⊥BG交BG的延长线于D，

∵AE=AE=DG=4cm，BG=16-4=12cm，

∴BD=16cm，

在Rt△ADB中，由勾股定理得

AD2=AB2-BD2=202-162=144，

∴AD=12cm，

∴该圆柱的底面周长为24cm.

5.解析将长方体侧面展开，如图，连接AB，

则AB2=32+(1×4)2=25，∴AB=5cm，

根据两点之间线段最短，可知所用细线最短为5cm.