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2024年研究生考试考研数学(农314)自测试卷与参考答案

一、选择题(本大题有10小题，每小题5分，共50分)

1、设函数f(x)=x2-ax-2,若f(x)≤0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是()

A.[-7,3]B.[3,7]

C.(-○,-7)U[3,+○)D.(-0,-2]U[10,+○)首先，考虑函数f(x)=x2-

ax-2。

若f(x)≤0在区间[1,5]上有解，则必存在某个xo∈[1,5],使得f(xo)≤0。将不等式f(x)≤0转化为关于a的不等式，即：

接下来，我们需要找到函数区间[1,5]上的最大值。

观察函数g(x),可以发现它是一个对勾函数(或称为双曲线函数)。在这类函数中，当x为正数时，函数在(0,√2上单调递减，在(√2,+○)上单调递增。

由于√22,且区间[1,5]的左端点1距离√2较近，而右端点5距离√2较远，因此函数g(x)在区间[1,5]上是单调递增的。

所以，函数g(x)在区间[1,5]上的最大值为

但是，这个最大值并不是我们需要的，因为我们在转化不等式时得到的是a≥g(x)。由于我们需要找到使得不等式有解的a的取值范围，因此应该取g(x)在区间[1,5]上的最大值(但在这个特定问题中，最大值并不是决定性的，因为不等式是“有解”而非“恒

成立”)。然而，更关键的是要注意到区间端点的取值。计算得：

由于f(x)≤0在区间[1,5]上有解，因此只需保证存在某个x∈[1,5]使得a≥

g(x)成立。由于g(x)在[1,5]上单调递增，所以只需考虑g(x)在该区间的最大值和最小值。但在这个问题中，最小值-1更有意义，因为我们需要找到使得不等式有解的a的最小可能值。然而，由于a可以取到比-1更大的任何值(只要这些值满足不等式在某个x∈[1,5]上成立),因此实际上我们只需要考虑g(x)在区间端点上的取值。

注意到当x=1时，g(1)=-1,但此时f(1)=1-a-2=-a-1。为了使f(1)≤0,

我们需要-a-1≤0,即a≥-1。然而，这个下界并不是题目所求的，因为题目要求的是使得不等式在区间[1,5]上有解的a的取值范围。

实际上，我们应该这样考虑：由于g(x)在[1,5]上单调递增，且g(1)=-1,

因此在这个区间内，g(x)的值域为。但由于我们需要找到的是使得不等式有解

的a的取值范围，而不是使得不等式恒成立的a的取值范围，因此只需。

2、设函数(f(x))在([a,b])上连续，在((a,b))内可导，且满足(f(a)=f(b))。若存在常数(c),使得对于所有(x∈(a,b)),有(I|f(x)|≤c|f(x)|)。则下列结论正确的是：

A.若(c0,则(f(x)=の在([a,b])上

B.若(c0,则(f(x)=の在([a,b])上

C.对于任意(c),都有(f(x)=の在([a,b])上

D.以上结论都不正确

答案：C.对于任意(c),都有(f(x)=の在([a,b])上

解析：首先由罗尔定理知，存在至少一点(ξ∈(a,b))使得(f(ξ)=0。若(f(x))

不恒等于0,则存在(xo∈(a,b))使得(f(xo)≠の。不失一般性,假设(f(xo)

(xo)的某邻域内(f(x)の。此时,(f2(x)≤cf(x))在此邻域内成立,由于(c)是常数,若(f(x))在此邻域内严格大于0,则(f(x))也必须在此区间内严格小于0以保持(f(x))

的正值,但这与(f(a)=f(b))矛盾。同理可以证明当(f(xo)の的情况。因此唯一可能的情况是(f(x)=の在([a,b])上,无论(c)的取值如何。

这个题目涉及了微积分中的罗尔定理及函数的性质。

3、设函数(f(x)=1n(x2+1)),则该函数在实数集上的最小值为

A.0

B.1

C.-0

D.不存在

答案及解析：解析：

给定函数((x)=1n(x2+1)),我们先对其求导得到(f2(x)),然后解方程(f(x)=の来找到可能的极值点。

求导后得到

,

令导数等于0解得(x=の。

将(x=の代入原函数得到((の=1n(O+I)=1n(D=の。

由于(x2+1)在实数范围内总是正的且最小值为1(当且仅当(x=の时取到)(f(x)=1n(x2+1))的最小值为(1