第01讲 导数的概念及运算 (高频考点，精讲）（解析版）.docx

第01讲导数的概念及运算(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：导数的概念

高频考点二：导数的运算

高频考点三：导数的几何意义

①求切线方程（在型）

②求切线方程（过型）

③已知切线方程（或斜率）求参数

④导数与函数图象

第四部分：高考真题感悟

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

1、平均变化率

（1）变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.

（2）平均变化率

一般地，函数在区间上的平均变化率为：.

（3）如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出和

②作商：对所求得的差作商，即.

2、导数的概念

（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.

（2）定义法求导数步骤：

求函数的增量：；

求平均变化率：；

求极限，得导数：.

3、导数的几何意义

函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.

4、基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导数

(为常数)

()

()

(，)

5、导数的运算法则

若，存在，则有

（1）

（2）

（3）

6、复合函数求导

复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

7、曲线的切线问题

（1）在型求切线方程

已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.

第二步：计算切线斜率.

第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

（2）过型求切线方程

已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.

步骤：第一步：设切点

第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；

第三步：令：，解出，代入求斜率

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.

第二部分：课

第二部分：课前自我评估测试

1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数，为的导函数，则的值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意可得，，所以

故选：．

2．（2022·陕西渭南·高二期末（理））若函数在处的导数为2，则????????(???????)

A．2 B．1 C． D．6

【答案】B

【详解】由函数在处的导数为2，得，

所以，

故选：B

3．（2022·吉林·高二期末）曲线在点的切线的方程为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得，∴，即，

∴切线方程为．

故选：B

4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））下列求导运算不正确的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D不正确.

故选：D

5．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）下列求导结果正确的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】A选项：，故A选项错误；

B选项：，故B选项正确；

C选项：，故C选项错误；

D选项：，故D选项错误；

故选：B

6．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数．

(1)；

(2)；

【答案】(1)

(2)

（1）．

（2）因为，所以

第三部分：典

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：导数的概念

典型例题

例题1．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））已知为可导函数，且，则_______．

【答案】

【详解】解：因为.

故答案为：.

例题2．（2022·北京顺义·高二期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（）随开窗通风换气时间（）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（??）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，

由图可知，

所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；

故选：C

例题3．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）某物体作直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

所以该物体在时的瞬时速度是

故选：D

题型归类练

1．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知是函数的导函数，若，则（???????）

A．4 B．2 C．8 D．

【答案】C

【详解】解：．

故选：C．

2．（2022·上海·闵行中学高二期末）已知函数，则______．

【答案】－