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第06讲双曲线
目录
TOC\o1-2\h\u第一部分:知识点必背 1
第二部分:高考真题回归 3
第三部分:高频考点一遍过 3
高频考点一:双曲线定义理解 3
高频考点二:利用双曲线定义求方程 4
高频考点三:双曲线中最值问题 5
高频考点四:双曲线中的焦点三角形 6
高频考点五:双曲线标准方程 7
高频考点六:双曲线焦点、焦距、实轴、虚轴 8
高频考点七:等轴双曲线 9
高频考点八:双曲线的渐近线 10
高频考点九:双曲线的离心率 11
第四部分:数学文化题 12
第一部分:知识点必背
知识点一:双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点二:双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
()
()
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点坐标
,
,
渐近线
离心率
,,
间的关系
知识点三:等轴双曲线
(,)当时称双曲线为等轴双曲线
①;②离心率;③两渐近线互相垂直,分别为;
④等轴双曲线的方程,;
知识点四:双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程:
2、若双曲线方程为(,)渐近线方程:
3、若渐近线方程为,则双曲线方程可设为,
4、若双曲线与有公共渐近线,则双曲线的方程可设为(,焦点在轴上,,焦点在轴上)
第二部分:高考真题回归
1.(2023·全国(甲卷文理)·统考高考真题)已知双曲线的离心率为,C的一条渐近线与圆交于A,B两点,则(????)
A. B. C. D.
2.(2023·全国(乙卷文理)·统考高考真题)设A,B为双曲线上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(????)
A. B. C. D.
3.(2023·北京·统考高考真题)已知双曲线C的焦点为和,离心率为,则C的方程为.
4.(2023·全国(新高考Ⅰ卷)·统考高考真题)已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上,点在轴上,,则的离心率为.
第三部分:高频考点一遍过
高频考点一:双曲线定义理解
典型例题
例题1.(多选)(2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末)已知平面直角坐标系中,点、,点为平面内一动点,且,则下列说法准确的是(???)
A.当时,点的轨迹为一直线
B.当时,点的轨迹为一射线
C.当时,点的轨迹不存在
D.当时,点的轨迹是双曲线
例题2.(2023·宁夏银川·银川一中校考一模)已知点,则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是(????)
A. B.
C. D.
例题3.(2023·全国·高三专题练习)双曲线的两个焦点分别是,双曲线上一点到的距离是12,则到的距离是(????)
A.17 B.7 C.7或17 D.2或22
练透核心考点
1.(2023春·福建福州·高二校联考期中)设P是双曲线上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(????)
A.1 B.17 C.1或17 D.8
2.(2023·全国·高二专题练习)已知平面内两定点,,下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是(????)
A. B.
C. D.
3.(2023·上海·高二专题练习)已知,两点,则满足的动点的轨迹方程为.
高频考点二:利用双曲线定义求方程
典型例题
例题1.(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,已知的顶点,,其内切圆圆心在直线上,则顶点的轨迹方程为(????)
A. B.
C. D.
例题2.(2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末)动点与点与点满足,则点的轨迹方程为.
例题3.(2023·高二课时练习)若动点满足,则点的轨迹方程为.
练透核心考点
1.(2023·高二课时练习)一动圆过定点,且与已知圆:相切,则动圆的轨迹方程是(????)
A.() B.()
C. D.
2.(2023秋·福建三明·高二统考期末)已知圆,圆,若动圆E与,都外切,则圆心E的轨迹方程为.
3.(2023·全国·高二专题练习)在平面直角坐标系中,已知圆:,点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线与直线相交于点,设点的轨迹为曲线,则曲线的方程为.
高频考点三:双曲
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