新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题27 圆的方程及几何性质（解析版）.doc

专题27圆的方程及几何性质№

专题27圆的方程及几何性质

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专题27圆的方程及几何性质

命题解读

命题预测

复习建议

圆的方程是高中数学中必学知识点，在高考中圆的知识也是每年都出现，但单独考察圆的方程的题目比较少，至少近几年几乎没有出现，在圆的方程的考察方面主要是与直线相结合来出题，以基础题目为主。

直线与圆、圆与圆位置关系是高考考察的知识点之一，近几年高考中主要出现在选择或者填空题中，主要是考察综合问题，但难度不大，一般以基础题和中档题为主，出题形式比较灵活，多利用数形结合方法解题。

预计2024年的高考圆的方程还是以基础为主，注重课本基础知识，注重几何与代数转化思想的应用。

直线与圆、圆与圆位置关系出题还是以基础性的综合题为主，出题方式灵活多变，难度以中低档为主，注重数形结合的应用，多考察能力。

集合复习策略：

1.掌握圆的标准方程与圆的一般方程；

2.会计算与圆有关的最值等问题。

3.理解直线的倾斜角与斜率的概念，会计算斜率并运用斜率判定直线的位置关系；

4.掌握直线方程的各种形式。

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一、圆的标准方程与一般方程

1.圆的定义

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹).

2.圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圆心为(a,b)半径为r

3.圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆心为-D2,-E2半径为1

二、与圆有关的计算问题

1.与圆有关的最值问题的计算（主要是距离最值、对称性求最值）

2.与园有关的轨迹问题的计算

三、直线与圆的位置关系

设圆O的半径为r(r0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:

位置关系

相离

相切

相交

图形

代数观点

Δ0?

Δ=0?

Δ0?

几何观点

dr?

d=r?

dr?

四、直线的方程

设两圆的半径分别为R,r(Rr),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:

位置关系

相离

外切

相交

内切

内含

图形

量的关系

dR+r

d=R+r

R-rdR+r

d=R

dR-r

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1.（2023全国理科乙卷12）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）

A. B.

C D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.

【详解】如图所示，，则由题意可知:，

由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，

则：

，则

当时，有最大值.

综上可得，的最大值为.

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

2.（2023天津卷12）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．

【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，

所以，解得：，由解得：或，

所以，解得：．

当时，同理可得．

故答案为：．

3.（2023全国Ⅱ卷15）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．

【答案】（中任意一个皆可以）

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．

【详解】设点到直线距离为，由弦长公式得，

所以，解得：或，

由，所以或，解得：或．

故答案为：（中任意一个皆可以）．

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1．（2023·广东·统考模拟预测）已知经过点，半径为1．若直线是的一条对称轴．则k的最大值为（????）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆心的坐标为，

因为经过点，半径为1，

所以，故点在圆上，

又直线是的一条对称轴，

所以，故点在直线上

所以圆与直线有交点，

所以，

所以，所以，

所以k的最大值为，

故选：D.

2．（2023·广东江门·统考模拟预测）若直线与圆相交于P，Q两点，且（其中O为坐标原点），则b的值为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】，圆的半径为1，，

圆心到直线的距离，，解得.

故选：C

3．（2023·广东汕头·统考一模）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（????）

A．与关于直线对称

B．若圆