第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 (高频考点，精讲）（解析版）.docx

第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系

(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：直线与圆的位置关系

题型二：圆的切线与弦长问题

角度1：弦长问题

角度2：切线问题

题型三：圆与圆的位置关系

角度1：圆与圆的位置关系

角度2：圆与圆的公共弦问题

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：直线与圆的位置关系

1、直线与圆的三种位置关系

直线与圆

的位置关

系的图象

直线与圆的

位置关系

相交

相切

相离

2、判断直线与圆的位置关系的两种方法

几何法（优先推荐）

图象

位置关系

相交

相切

相离

判定方法

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相交。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相切。

；

。

圆心到直线的距离：。

圆与直线相离。

代数法

直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数

①直线与圆相交

②直线与圆相切

③直线与圆相离

知识点二：圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

图象

位置关系

图象

位置关系

外

离

外

切

相

交

内

切

内

含

2、圆与圆的位置关系的判定

几何法

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.

①当时，两圆相交；

②当时，两圆外切；

③当时，两圆外离；

④当时，两圆内切；

⑤当时，两圆内含.

代数法

设:

:

联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其

①与设设相交

②与设设相切（内切或外切）

③与设设相离（内含或外离）

知识点三：直线与圆相交

记直线被圆截得的弦长为的常用方法

1、几何法（优先推荐）

①弦心距（圆心到直线的距离）

②弦长公式：

2、代数法

直线：；圆

联立消去“”得到关于“”的一元二次函数

弦长公式：

知识点四：圆与圆的公共弦

1、圆与圆的公共弦

圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.

2、公共弦所在直线的方程

设:

:

联立作差得到：即为两圆共线方程

知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离

设圆心到直线的距离为，圆的半径为

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；

第二部分：典

第二部分：典型例题剖析

题型一：直线与圆的位置关系

典型例题

例题1．（2022·山东·微山县第二中学高二期中）若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】∵直线l：恒过定点

曲线C：即：

∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆.

∵直线l与曲线C有两个交点，

∴如图所示，

当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，

此时解得：

当过点M的直线也过点时有2个交点，

此时

∴

故选：B.

例题2．（2022·安徽省舒城晓天中学高二期中）不论为何实数，直线与圆恒有公共点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由，得，

则，得，

由，得，

由，解得，

所以直线恒过定点，

因为直线与圆恒有公共点，

所以点在圆内或圆上，

所以，即，解得，

综上，，

故选：C.

例题3（2022·山西·平遥县第二中学校高二阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（????）.

A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定

【答案】A

【详解】圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

所以直线和圆相切.

故选：A

例题4．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆的位置关系是______．（相交、相切、相离）

【答案】相切

【详解】圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

所以直线和圆相切.

故答案为：相切

例题5．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆的位置关系为（????）

A．相切 B．相交

C．相离 D．由的取值确定

【答案】A

【详解】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.

故选：A．

同类题型归类练

1．（2022·辽宁·高二期中）圆与直线的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

【答案】A

【详解】圆的圆心为，半径为1，

所以圆心到直线的距离，

所以直线与圆的位置关系为相交.

故选：A.

2．（2022·江苏徐州·高二期中）设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（????）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定

【答案】B

【详解】根据题意，即，故点在圆外.

故选：B.

3．（2022·北京·北科大附中高二期中）直线与圆的位置关系是(????)