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创新方案高考数学复习人教新课标同角三角函数基本关系式与诱导公式高中数学

同角三角函数基本关系式：

在任意一象限内，以点P(x,y)为终点的一个角α，构成一条与x轴正半轴之间的夹角。根据三角函数的定义可得，点P上的正弦、余弦、正切、余切值分别为：

sinα=y/r

cosα=x/r

tanα=y/x

cotα=x/y

其中r表示点P到坐标原点O的距离，即r=√(x2+y2)。这些值我们又称之为以角α为自变量的函数，记作sinα、cosα、tanα、cotα，它们被统称为同角三角函数。

同角三角函数基本关系式就是指通过一个角的正弦、余弦、正切、余切值之间的关系式，即

sin2α+cos2α=1

1+tan2α=sec2α

1+cot2α=csc2α

这里，sec表示余割，csc表示余cosecant。这三个公式是基础，可以得到其他许多关于同角三角函数的性质。

同角三角函数诱导公式：

同角三角函数诱导公式常用于三角函数的简化，表达出某些三角函数为另外几个三角函数的函数。它们可以帮助我们在求解一些复杂的三角函数表达式时化式简化。

其中最基本的诱导公式有以下三个：

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

1+tan2α=sec2α

1+cot2α=csc2α

这些公式有广泛的应用，下面介绍一些由这些公式可以导出的有用的性质。

性质1：tan(-α)=-tanα、cot(-α)=-cotα

利用同角三角函数诱导公式中的cotα=cosα/sinα和sin(-α)=-sinα、cos(-α)=cosα，可知cot(-α)=cos(-α)/sin(-α)=-cosα/sinα=-cotα。

由tan(-α)sinα=-sinα，tan(-α)=-tanα。

这些性质在解一些三角函数的不等式或方程时会很有用。

性质2：sin(π/2-α)=cosα、cos(π/2-α)=sinα

利用同角三角函数诱导公式中的tan(π/2-α)=1/tanα，可得

tan(π/2-α)=1/tanα=cosα/sinα

然后，将上式两边取倒数，得

sin(π/2-α)=cosα/cos2α+sin2α=cosα

cos(π/2-α)=sinα/cosα=sinα/√(1-sin2α)=sinα

其中，sin2α+cos2α=1，利用此式可得cos2α=1?sin2α，代入可得√(1?sin2α)=cosα，因此可以化简得到上式。

性质3：sin2α=1/2(1-cos2α)、cos2α=1/2(1+cos2α)

把sin2α+cos2α=1代入其中一式，得

sin2α=1?cos2α=(1+cosα)(1?cosα)/2

=1/2(1?cos2α)=1/2(1?cos2α)

同理，将cos2α=1-sin2α代入其中一式，得

cos2α=1?sin2α=(1?sinα)(1+sinα)/2

=1/2(1+sinα)2-1/2=1/2(1+cos2α)

练习：

对于角α，试用同角三角函数基本关系式，推导出下列恒等式。

1.tan(90°-α)=cotα；

2.1+tan2α=sec2α；

3.1+cot2α=csc2α。

解答：

1.tan(90°-α)=sin(90°-α)/cos(90°-α)

由角α与补角β和的关系可得：β=90°-α。

所以：tan(90°-α)=tanβ=cotα=cosβ/sinβ=sinα/cosα。

综上所述，结论得证。

2.1+tan2α=sec2α

等式左边为：1+tan2α=1+sin2α/cos2α=(cos2α+sin2α)/cos2α=1/cos2α

右边为：sec2α=1/cos2α

由此，两边相等，结论得证。

3.1+cot2α=csc2α

等式左边为：1+cot2α=1+cos2α/sin2α=(sin2α+cos2α)/sin2α=1/sin2α

右边为：csc2α=1/sin2α

由此，两边相等，结论得证。