第13讲 导数中三次函数有关的问题(教师版).docx

第13讲三次函数的图象性质

思维导图-

思维导图-----方法梳理

1.对称中心：三次函数一定有对称中心，对称中心的坐标为

2．三次函数有以下6种可能的图象：

3.三次函数的零点个数：

（1）若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，函数在R上有唯一的零点.

（2）若方程的判别式，则有两个零点，，它们是函数的极值点.

（i）有一个零点，如下图所示；

（ii）有两个零点，如下图所示；

（iii）有一个零点，如下图所示；

围观(

围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹

例1.已知函数在时有极值0，则_______.

【解析】，由题意，，解得：或，

若，，则，

所以在R上单调递增，不合题意，所以，，故.

例2.若函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_______.

【解析】由题意，，显然在R上只能单调递增，

所以恒成立，从而，解得：.

例3.若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是_______.

【解析】若在上单调函数，则或在上恒成立，

由题意，，注意到，所以只能恒成立，即，

从而只需，解得：，

因为在上不是单调函数，所以的取值范围是.

例4.若函数在上有极值点，则实数a的取值范围是_______.

【解析】若在上没有极值点，则在上是单调函数，

所以或在上恒成立，

由题意，，注意到，所以只能恒成立，即，

从而只需，解得：，

因为在上有极值点，所以的取值范围是.

例5.若函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是_______.

【解析】在上有两个极值点等价于在上有两个零点，

由题意，，所以，解得：或.

【答案】

例6.已知三次函数的图象一定有对称中心，设为，记函数的导函数为，的导函数为，则有，已知函数，

则可以根据以上信息求出的值为_______.

【解析】由题意，，，令可得，

又，所以的图象的对称中心是，故当时，，

记，

则，

以上两式相加得：

，所以.

【答案】

例7.（2020·新课标Ⅲ卷）已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求k的取值范围.

【解析】（1）由题意，的定义域为R，，

当时，恒成立，所以在R上单调递增；

当时，或，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，当时，在R上单调递增，所以至多一个零点，不合题意；

当时，要使有三个两点，需满足，解得：.

例8.已知函数，其中.

（1）若在R上单调递增，求a的值；

（2）若，讨论在区间上的零点个数.

【解析】（1）由题意，，

当时，或，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，不合题意；

当时，，所以在R上单调递增，满足题意；

当时，或，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，不合题意；

综上所述，实数a的值为1.

（2）由（1）可得当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，易求得，，，

，

当时，，所以在上有且仅有1个零点，如图1；

当时，，所以在上有且仅有2个零点，如图2；

当时，，且，所以在上有且仅有3个零点，如图3；

当时，，且，所以在上有且仅有2个零点，如图4.

套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数有两个极值点，，则下列结论中错误的是（）

套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫

A.，存在，使得B.在上存在最大值

C.是的极大值点D.若，则有唯一的零点

【解析】A项，三次函数的值域为R，故A项正确；

B项，由题意，的大致图象如图，由图可知在上的最大值为，故B项正确；

C项，由图可知是的极小值点，故C项错误；

D项，有唯一零点的充要条件是，故D项正确.

【答案】C

2．已知函数，其中，若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是_______.

【解析】由题意，，

函数在区间上是减函数等价于在上恒成立，

所以在上恒成立，故.

【答案】

3．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是_______.

【解析】由题意，，所以或，，

从而在上，在上，在上，

故有极大值，极小值，

注意到，如图，由图可知，要使在上存在最小值，应有.

【答案】

4.（2016·北京）设函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

【解析】（1）由题意，，所以，

故曲线在点处的切线方程为.

（2）当时，，，

所以或，，

从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

故有极大值，极小值，

所以有三个零点的充要条件是，解得：

故当有3个不同的零点时，c的取值范围是.

（3）当时，方程的判别式，所以恒成立，从而在R上递增，故不可能有三个零点，

所以是有三个不同零点的必要条件；

另一方面，取，，，满足，但只有两个零点