专题01 柯西不等式与权方和不等式（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.docx

专题01柯西不等式与权方和不等式

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TOC\o1-1\h\u题型01二维形式下的柯西不等式 1

题型02三维形式下的柯西不等式 4

题型03权方和不等式 10

题型01二维形式下的柯西不等式

【解题规律·提分快招】

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

【典例训练】

一、单选题

1．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据,令代入公式,结合已知条件,,即可得到结果.

【详解】因为,

令,又,,,

所以,

当且仅当即时等号成立,

即,

故选:D.

2．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对

【答案】B

【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.

【详解】根据题意，有，

而，当且仅从时等号成立.

同理，当且仅当式等号成立，

记题中代数式为M，于是

，

等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2．

故选：B.

3．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（????）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解.

【详解】由已知整理得

，

由柯西不等式得

，

当时取等号，

所以，即，

解得，所以的最小值为.

故选：C．

二、多选题

4．（2024高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果.

【详解】由得：，

（当且仅当，即时取等号），

（当且仅当时取等号），

即当时，，

，解得：，可能的取值为.

故选：BCD.

三、填空题

5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是．

【答案】

【分析】根据不等式构造不等式左侧求解即可.

【详解】由题意得，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

即，则，

所以，最小值为，此时．

故答案为：.

题型02三维形式下的柯西不等式

【解题规律·提分快招】

柯西不等式的扩展：，当且仅当时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.

【典例训练】

一、填空题

1．（2024高三下·浙江·阶段练习）若，则的最小值为．

【答案】

【分析】利用柯西不等式可直接求得结果.

【详解】由柯西不等式得：，

即，（当且仅当时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

2．2024高三下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为.

【答案】9

【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.

【详解】∵

∴,当且仅当时等号成立，即，

∵

，当且仅当时等号成立，可取

故答案为：9

3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是.

【答案】3

【分析】运用柯西不等式计算即可.

【详解】解:由柯西不等式可知

由能成立.

故答案为：3.

4．已知，且，实数满足，且，则的最小值是．

【答案】/0.25

【分析】在平面直角坐标系中，令，由此求出与的坐标，再用x，y表示出，然后借助柯西不等式求解作答.

【详解】在平面直角坐标系中，令，设，则，

，解得，则，依题意，不妨令，，

而，则，有

，

当且仅当，即时取“=”，而，则，当且仅当时取“=”，

因此，，当且仅当且，即且时取“=”，

所以当，，时，取得最小值.

故答案为：

【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.

二、解答题

5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.

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