不定积分“第一换元积分法”教学环节设计.pdf

Ⅵ慢NLIDAOHANG职教天地

不定积分“第一换元积分

丈|鸟械熬

【摘要】第一换元积分法是不定积分教学中的重点和难

(2x+1)，可变形为而d(2x+1)=(2x+1)9d(2x+1)，继续引导：可以

点。作者根据高职院校学生特点，结合多年的教学实践和经

验，给出了适宜教学思路和设计，并对常见凑微分形式给予发现前式右边形式与例题(4)只有d(2x+1)和的区别，而左边

归纳和分类。】

的积分我们完全可利用微分和积分的互逆关系得到』而d

【关键词】换元积分；中间变量；凑微分

高职院校中不论是理工类的《高等数学》或商贸类《经1

(2x+1)=面(2x+1)+C，那右边的积分结果也就呼之欲出了。

济数学》课程中，微积分的两大模块：微分学和积分学始终

此时，教师再次引导：根据分析，现在问题的关键就变成d

都是教学的重点。而积分学的学习和掌握，要求学生不仅对

(2x+1)和dx有何关系?

基本积分公式表要熟悉，还要具有较好的逆向思维能力。作

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为不《定积分》一章中的“第一换元积分法”不仅在本章教利用微分知识，容易得到：d(2x+1)=2dx，即dx=d(2x+1)

学中具有重要地位和意义，同时也是后续积分学习的前提11

和基础。笔者在教学环节的处理上主要从以下三方面加以从而例题(4)，(2x+1)9dx=~f(2x+1)9d(2x+1)=布(2x+1)0+c

考虑：从以上分析过程，可以看出被积函数整体上看是个幂

一、互逆知识点回顾函数，而幂函数是基本初等函数，有相应的积分公式，因此

我们知道第一换元法是把复合函数的微分法反过来用可作变量代换u=2x+l，而后方dx又正好能转化成k．du的

于求不定积分，利用中间变量代换，把某些不定积分化为可形式，因此可套公式积分出结果。再次引导：上述变量代换

利用基本积分公式的形式。所以在讲授新课前，有必要先复的方法对于一般不定积分是否适用呢?回答是肯定的。这就

习下复合函数微分法则：是求不定积分的重要积分方法——第一换元积分法，从而

设函数y=f(u)对U可导，u=v(x)，对x可导，则函数y=f(u)自然地抛出换元积分法这一概念。

的微分为dy=f(u)du，这一性质称为微分形式的不变性。用文三、新课讲解及类型归纳

字描述即：若函数对中间变量求导数，则微分形式中应乘以第一换元积分定理：设u)：f(u)，u=P‘(x)可导，则ff(u)du=F

中间变量的微分。(u)+C

如：(1)d(2x+1)10(2x+1)9d(2x)+1中间变量u=2x+l即mP‘(x)]P‘，(x)dx=』fp【‘(x)]d[P‘(x)】=u)du=F(u)+c=F【P‘(x)】+c

(2)d(e。=3(ed·(e)第一步中间变量u=e从定理的形式看，用第一