专题03 三次函数的图像与性质（4大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.docx

专题03三次函数的图像与性质

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TOC\o1-1\h\u题型01三次函数的零点 1

题型02三次函数的极值、极值点 7

题型03三次函数的切线 14

题型04三次函数的对称性 19

题型01三次函数的零点

【解题规律·提分快招】

一、三次函数概念

定义：形如fx=

fx=

当Δ0时，令f

二、三次函数的零点个数

若三次函数fx

性质

三次函数图像

说明

a

a

零点个数

三个

b

f

两个极值异与

图像与x轴有三个交点

两个

b

f

有一个极值为0

图像与x轴有两个交点

存在极值时

一个

b

f

不存在极值时，

函数单调，与x轴有一个交点

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求的范围.

【详解】由，即，故函数关于对称，

所以，则，

故，

令，且开口向上，对称轴为，

由题意，且，它们也是的两个零点，

所以，且，故，则，

所以.

故选：C

【点睛】关键点点睛：应用因式分解及已知得到是的两个零点，且，且为关键.

二、多选题

2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，则（????）

A． B．若，则的极大值点为

C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增

【答案】ACD

【分析】A选项，代入计算，得到；B选项，求导，得到函数单调性，得到为极小值点，B错误；C选项，分和两种情况，结合B选项，得到函数极值情况，从而得到不等式，求出；D选项，分和两种情况，得到，得到D正确.

【详解】A选项，，

故，A正确；

B选项，，若，当或时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故为极小值点，B错误；

C选项，，当时，，故在R上单调递增，不会有两个零点，舍去；

当时，由B选项知，在上单调递增，

在上单调递减，

在处取得极小值，在取得极大值，

且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，

其中，，

要想至少有两个零点，则，

解得，C正确；

D选项，由C选项知，当时，在R上单调递增，满足在区间上单调递增，

当时，在上单调递增，

其中，

故，所以在区间上单调递增，

综上，在区间上单调递增，D正确

故选：ACD

【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等.

3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（????）

A．

B．若成等差数列，则

C．

D．

【答案】ABD

【分析】求导根据两个极值点即可求解A，根据关于对称，结合等差中项即可求解B，根据图象即可求解C，利用因式分解可得，即可利用三元平方关系求解D.

【详解】由可得，

要使有三个不同的零点，

则有两个不相等的实数根，故，

即，A正确，

由于为二次函数，关于对称，因此

，

故关于对称，

因此成等差数列，故是的对称中心，则，故B正确，

当时，作出的图象，则的图象与的图象交点如图所示，

由于，故，故C错误，

??

对于D，根据，

展开可得，

故，

同理可得的三个实数根为，

则，

故，

因此，

故，

即得，故D正确，

故选：ABD

关键点点睛：根据因式分解可得，进而根据求解.

三、填空题

4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为

【答案】

【分析】首先利用导数说明函数在各段的单调性与最大值，即可画出函数图象，依题意可得与y=fx的图象有两个交点，数形结合即可得解.

【详解】当时，，则，

所以当时，f′x0，函数

当时，f′x0，函数

所以当时，.

当时，，则，

当时，f′x0，函数单调递增；当时，f′x0

所以时，.

画出函数的图象如图所示：

因为函数有两个零点，所以与y=fx的图象有两个交点，

由图可知或，

所以的取值范围为.

故答案为：

5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若方程有且仅有两不等实根，则实数的取值范围是.

【答案】

【分析】由题意，构造函数，方程有且仅有两不等实根，即直线与函数y=gx的图象有两个交点，作出函数的图象，根据交点的情况得到答案.

【详解】当时，方程可化为，即，

当时，方程可化为，即，

令，方程有且仅有两不等实根，即直线与函数y=gx的图象有两个交点，

当时，，

当时，单调递增；当时，单调递减；当时，取极小值.

当时，，

当时，单调递减；当时，单调递增；当时，取极小值一2.

根