根与系数的关系（韦达定理）讲义初升高数学衔接.pdfVIP

根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程OX2+6X+C=0存（0）有两个实数根

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-b+\lb-4ac-b-ylb-4ac

21

b-(b-4ac)4ac

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果“以。=0（。0）的两根分别是X1,X2,那么X}+x2=--9

XI,X2=—.这一■关系也被称为韦达定理.

a

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程N+px+g=o,若

XI，X2是其两根，由韦达定理可知

Xl+%2=-P，X\-X2=q^

p——(Xl+x2)，q=X\X2,

2）x+x\-X2-0,由于乃，

所以，方程N+px+夕=0可化为x—X（I+x2

X2是一元二次方程/「工夕=0的两根，所以，Xl,X2也是一元二次

方程］2—（XI+X2）X+XIB2=0.因此有

以两个数M,X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

2

X—X（1+x2）x+xi・X2=0.

例2已知方程5/+-6=0的一个根是2,求它的另一个根及人

的值.

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出

左的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可

以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项

系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两

根之和求出人的值.

解法一：・・・2是方程的一个根，

2

.•.5x2+Arx2-6=0,

・•・左=—7・

=—

所以，方程就为5/—7x—6=0,解得》=2,%2|-

所以，方程的另一个根为一|,左的值为一7.

解法二：设方程的另一个根为打，则2%产一号，••凶=—1.

由-（3）+2=--,得k=-7.

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所以，方程的另一个根为一|,左的值为一7.

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例3已知关于x的方程x+2m（—2）x+m+4=0有两个实数

根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求〃的值.

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的

积大21得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别

注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大

于零.

解：设为，X2是方程的两根，由韦达定理，得

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