2024-2025学年重庆市南开区高三上册12月月考数学检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年重庆市南开区高三上学期12月月考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知等差数列的前n项和为，若，则（????）

A．7 B．14 C．21 D．42

2．已知复数，则（????）

A．2 B． C．1 D．0

3．已知直线和，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（????）

A． B． C． D．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（????）

A． B． C． D．4

7．已知抛物线C：的焦点为，直线与C交于A，B两点，则（????）

A．18 B．16 C．6 D．4

8．设无穷等差数列的公差为，集合.则（????）

A．不可能有无数个元素

B．当且仅当时，只有1个元素

C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为

D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0

二、多选题（本大题共3小题）

9．在数列和中，，，，下列说法正确的有（????）

A． B．

C．36是与的公共项 D．

10．已知椭圆，不经过原点、斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，为线段的中点.下列结论正确的是（????）

A．直线与垂直

B．若点M坐标为，则直线方程为

C．若直线方程为，则点M坐标为

D．若直线方程为，则

11．已知直线l经过点，曲线.下列说法正确的是（????）

A．当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为

B．当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个

C．当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为

D．存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2

三、填空题（本大题共3小题）

12．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为.

13．已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为．

14．椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.

（1）求圆C的标准方程

（2）过点作圆C的切线，求切线方程．

16．已知双曲线与椭圆有相同的焦点.

求双曲线的方程；

以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.

17．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.

??

20

66

770

200

14

460

4.20

0.308

21500

(1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.

(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.

附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点P，Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，且四边形的面积为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率不为0的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于G，H两点，直线，与直线分别交于点M，N.求证：M，N两点的纵坐标之积为定值.

19．已知函数．

(1)若曲线和直线相切，求a的值；

(2)若存在两个不同的a，使得的最小值为0，求证：．

答案

1．【正确答案】B

【详解】由等差数列的性质可得：2a4＝a2+a6，又，解得a4＝2，

而S77a4＝14

故选B．

2．【正确答案】B

【详解】，

所以

故选：B

3．【正确答案】A

验证时，是否成立；当时，是否成立结合充分必要条件判定即可.

【详解】解：当时，可以推出；

当时，可得或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A．

4．【正确答案】C

【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.

【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.

故选C.

5．【正确答案】B

【详解】

由题意，，

，

，

由正弦定理得，又，

所以，