第02讲 等差数列及其前n项和 (高频考点—精讲）（原卷版）.docx

第02讲等差数列及其前n项和(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：等差数列基本量的运算

题型二：等差数列的判断与证明

题型三：等差数列的性质及其应用

角度1：等差数列的性质

角度2：等差数列前n项和的性质

角度3：等差数列的最值问题

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

1.等差数列的概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．

(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.

注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）

②等差中项法：

2.等差数列的有关公式

(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．

(2)等差数列的前项和公式(其中)．

3.等差数列的常用性质

已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．

(1)等差数列中，当时，()．

特别地，若，则()．

(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．

(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.

(4)，，…也成等差数列，公差为.

（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则

4.等差数列与函数的关系

(1)等差数列与一次函数的关系

可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．

(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．

第二部分：典

第二部分：典型例题剖析

题型一：等差数列基本量的运算

典型例题

例题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，且，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

例题2．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知等差数列的通项公式，则它的公差为（????）

A．3 B． C．5 D．

例题3．（2022·全国·高二课时练习）数列满足，且，则它的通项公式______．

例题4．（2022·江苏·高二课时练习）等差数列的首项为，公差为，项数为．

(1)已知，，，求；

(2)已知，，，求；

(3)已知，，，求；

(4)已知，，，求．

题型归类练

1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，，，则（????）

A．-110 B．-115 C．110 D．115

2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知等差数列满足，则的公差为（????）

A． B． C． D．

3．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前项和为.

(1)已知，，求.

(2)已知，，求.

(3)已知，求.

4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．

(1)已知，，求；

(2)已知，公差，求．

题型二：等差数列的判断与证明

典型例题

例题1．（2022·广东茂名·高二期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（????）

A． B． C． D．

例题2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（????）

A．671 B．672 C．673 D．674

例题3．（2022·浙江·杭州四中高二期中）数列的通项公式为，则此数列（????）

A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列

C．是首项为5的等差数列 D．是公差为的等差数列

例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式．

(1)当和满足什么条件时，数列是等差数列?

例题5．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（文））已知正项数列的前项和为，且和满足：.

(1)求的通项公式；

题型归类练

1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）数列中，，，那么这个数列的通项公式是（????）

A． B． C． D．

2．（2022·上海·格致中学高二期末）在数列中，，，则___________.

3．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知数列中，，，则=_________

4．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列满足.

(1)求数列的通项公式;

5．（2022·四川成都·高一期末（文））已知正项数列的前项和为，，且.

(1)求数列的通项公式；

题型三：等差数列的性质及其应用

角度1：等差数列的性质

典型例题

例题1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））在等差数列中，若，则其前9项的和等于（????）

A．18 B．27 C．36 D．9

例题2．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（文））已知数列为等差数列，且，则（????）

A． B． C． D．

例题3．（2022·全国·高二课时练习