选择必修第二册 第四章 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时）(共26张PPT).pptxVIP

选择必修2第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）

教学目标学习目标数学素养1.理解等比数列的前n项和公式的推导方法（错位相减法）．1.数学抽象素养和逻辑推理素养.2.掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.2.数学运算素养和逻辑推理素养.

温故知新等比数列定义符号表示公比通项公式等比中项通项公式推导方法一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列??an=a1qn-1.?公比q可正、可负但不可为零G是a与b的等比中项?G2=ab(ab0).不完全归纳法累乘法等差数列的前n项和公式的推导方法倒序相加法

新知引入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放麦粒数总和就是这个等比数列前64项的和.S64=1+2+22+23+…+263.

新知探究由S64=1+2+22+23+…+263.①2S64=2+22+23+…+263+264.②②-①，得S64=264-1，这种求和的方法,就是错位相减法!S64=264-1=184467440737095516151.84×1019,已知1000颗粒麦粒的质量为40克，S64×40×10-6（吨）7336（亿吨）7.5亿吨.则发明者所要的麦粒的总质量超过了7336亿吨，是全世界1000多年的小麦总产量.因此，国王不能他们的要求.

新知探究一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则{an}的前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.①我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn.②①-②,可得方法1：Sn-qSn=a1-a1qn，即(1-q)Sn=a1(1-qn).Sn=a1+a2+a3+…+an.根据等比数列的通项公式，可得?错位相减法

新知探究一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则{an}的前n项和??Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1).∴Sn=a1+q(Sn-an),即(1-q)Sn=a1-anq.方法2：Sn=a1+a2+a3+…+an.??方法3：?

新知探究等比数列的前n项和公式当q＝1时，Sn＝na1.当q≠1时，???注意：1.注意对q进行分类；2.当已知a1,q,n时用公式⑴；当已知a1,q,an时，用公式⑵.

新知探究?解：????∵q0,.??

新知探究?解：???解得n=5.对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知3个量就可以确定其他量.也就是常见的“知三求二”问题.

初试身手???解：∴q＝-2，???∴n=5.

知新探究?解：方法1：若q=1，则?????∴q≠1，

知新探究?解：?????

初试身手方法1：⑴若q=1，则a1=a2=a3=7，S3符合要求.2.已知等比数列{an}中，a3＝7，S3=21．求公比q.?解：??⑵若q≠1，由a3＝7，S3=21，得?∴2q2-q-1=0,?

知新探究【例3】已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn.证明：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.证明：当q=1时，Sn=na1,S2n-Sn=2na1-na1=na1,S3n-S2n=3na1-2na1=na1，?∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为1.???因为q为常数，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn.

知新探究【例3】已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn.证明：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.证明：S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=q