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《空间向量基本定理》知识探究

探究点1空间向量基本定理

1.空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得.

2.基向量:其中叫做空间的一个基底,都叫做基向量.

3.基底:空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

【要点辨析】

1.空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一.

2.三个向量不共面，隐含它们都是非零向量.

3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.

4.基向量的选择和使用方法

（1）尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底.

（2）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.

5.用基底表示向量时的注意事项

(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及向量的数乘运算律进行.

(2)若没给定基底,首先要选择基底,选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.

6.基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤

(1)设出基向量.

(2)用基向量表示出直线的方向向量.

(3)用求长度;

用判断垂直;

用求夹角;

用.

(4)转化为线段长度,两直线垂直及夹角问题.

学科素养:利用空间向量基本定理判断可作为基底的三个向量，体现了逻辑推理的核心素养.

典例1-1[概括理解能力、推测解释能力]已知是空间的一个基底,且,试判断能否作为空间的一个基底.

解析:本题考查利用空间向量基本定理中基底的概念判断三个向量能否作为基底,解决本题需理解空间向量基本定理,分析题意,我们使用反证法,假设三个向量共面,由共面向量基本定理,写出恒等式,利用系数相等,列出方程组,计算出未知数,若无解,说明假设不成立,即三个向量不共面,可作为基底;若有解,说明假设成立,三个向量共面,不能作为基底.

解:假设共面,由向量共面的充要条件知,存在实数,使成立,

,

即.是空间的一个基底,不共面.

此方程组无解.

即不存在实数使得,

所以不共面,能作为空间的一个基底.

典例1-2[分析计算能力]长方体中,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.

B.

C.

D.

点拨：本题考查利用空间向量基本定理,基向量法解决夹角问题,分析题意,我们可以将求异面直线与所成角的余弦值问题转化为与夹角的余弦值问题,由空间向量基本定理,我们可用基向量、、表示与,通过向量的数量积公式计算出与夹角的余弦值,即得出异面直线与所成角的余弦值.

解析：∵,

∴.所以异面直线与所成角的余弦值为.答案B

探究点2空间向量正交分解

1.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.

2.正交分解:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

【要点辨析】

1.正交基底,则,即.

2.单位正交基底,那么,且,即.

学科素养:利用空间向量基本定理先用基底表示空间中的向量，体现了数学抽象的核心素养.

典例2[简单问题解决能力]正方体中,分别是的中点,以为基底,如何表示向量.

解析:本题考查空间向量基本定理的应用,首先我们选择正交基底来表示,通过分析利用线性运算将它们转化成以为基底表示的向量.

解:.