专题19 正方形中“半角”模型（原卷版）.pdfVIP

专题19正方形中“半角”模型

解题思路

【模型归纳】

典例分析

【典例1】（春•十堰期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），

点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐

标是（）

A．2B．C．D．﹣1

【变式1-1】（溧水区二模）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），

点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐

标是（）

A．1B．C．D．﹣1

【典例2】（罗湖区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在

AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（）

A．B．C．D．

【变式2-1】（防城区期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在

AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为．

【典例3】（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的

点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF＝CF+AE；

（2）当AE＝2时，求EF的长．

【变式3-1】（2020•饶平县校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、

F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方

向旋转90°得到△DCM．

（1）求证：EF＝MF；

（2）当AE＝1时，求EF的长．

【变式3-2】（春•越秀区校级期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB

一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，

求证：CE＝CF．

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠

GCE＝45°，求证：GE＝BE+GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝

12．E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面积．

夯实基础

1．（2022春•峡江县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、

CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长

线上一点．

（1）△GAB≌△FAD吗？说明理由．

（2）猜想线段DF、BE、EF之间的数量关系并说明理由．

2．（2022春•雁塔区校级期末）阅读下列材料：

问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且

∠EAF＝45°．

解决下列问题：

（1）图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是．

（2）图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的

点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．

3．（2021秋•兰州期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD

上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一

点．

①△GAB≌△FAD吗？说明理由．

②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．

③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．

4．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形A