《量子力学》第10讲无限深球方势阱.pptx

1量子力学无限深球方势阱三维各向同性谐振子5、2.4，3.12，3.14，3.15（10/13-10/20）

2第五章中心力场

(可分离变量的三维定态问题)★不显含t时，定态

3目录一、中心力场的能量本征方程二、无限深球方势阱三、三维各向同性谐振子

4+r氢原子中，电子的势能函数：碱金属原子中，电子的势能函数：它们都是球对称的，称之为中心力场。一、中心力场

5一、中心力场的能量本征方程设质量为的粒子在中心势场中运动，则哈密顿量：考虑到中心势场是球对称的，采用球坐标能量本征方程写为：任务：如何确定本征态和本征值

6一、中心力场能级简并能量本征方程写为：为角动量算符，可证明：所以能级是简并的即：对自身的本征函数来说，属于同一能级的简并态之间的正交性得不到保证，换句话说：自身不能构成力学量完全集，根据前面的结果，关键任务是：寻找力学量完全集，找到其共同本征函数即：

7一、中心力场守恒量以及力学量完全集中心任务：寻找力学量完全集，找到其共同本征函数解释：尽管对可能是简并的，但可以用对进行分类，从而使得属于同一能级的简并态的正交性问题得到保证。任务第一步：如何寻找因为，所以可以组成完全集根据分离变量法：，注意到：球坐标下，和只对和起作用，且和拥有共同本征函数：球谐函数，即：

8一、中心力场能量本征方程即：也就是：是的共同本征函数：

9一、中心力场的径向方程将代入能量本征方程：得到关于的径向方程：令：有：称为径向波函数，取决于的形式。

10一、中心力场的径向方程-简并是能量本征方程的本征值：但在径向方程中：有，但没有。注意到，所以一个必然对应个，即：能级至少是级简并的。问题：同一能级的简并态之间的正交性如何得到保证？

11二、无限深球方势阱(1)无限深球方势阱：能量本征方程写为：解可写为：其中满足径向方程：1、态情况（即的情况）

12二、无限深球方势阱(2)态情况在边界条件下求解方程势阱内：令又因为所以能量本征值：由归一化条件：

13二、无限深球方势阱(3)2、非态情况（即的情况）势阱内：令径向方程写为：称为球Bessel方程，其解：称为球Bessel函数：边界条件：下，有令因此由可以求出根，表示的节点数。

14二、无限深球方势阱(4)画图求解

15二、无限深球方势阱(5)，所以令由归一化条件可得：

16二、无限深球方势阱(6)3、解的讨论(1)、能级：

17二、无限深球方势阱(7)(2)、本征函数：与相对应的能量本征函数：其中：所以当和确定后，给定，但即共有个，每个对应个所以能级是度简并

18二、无限深球方势阱(8)(3)、简并态的分类每个对应个，即能级是度简并因为是的共同本征函数，因此可以利用和的本征值对应的量子数和对进行分类，从而保证对应同一能级的个不同本征态之间的正交性得到保证：

19二、无限深球方势阱(9)以为例：对应个即：为三重简并。正交归一性表示为：因此可见，利用力学