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机器学习题库
一、极大似然
1、MLestimationofexponentialmodel(10)
AGaussiandistributionisoftenusedtomodeldataontherealline,butissometimes
inappropriatewhenthedataareoftenclosetozerobutconstrainedtobenonnegative.Insuchcasesonecanfitanexponentialdistribution,whoseprobabilitydensityfunctionisgivenby
GivenNobservationsxidrawnfromsuchadistribution:
(a)Writedownthelikelihoodasafunctionofthescaleparameterb.(b)Writedownthederivativeoftheloglikelihood.
(c)GiveasimpleexpressionfortheMLestimateforb.
2、换成Poisson分布：p,y=0,1,2,...
3、
二、贝叶斯
假设在考试的多项选择中，考生知道正确答案的概率为p，猜测答案的概率为1-p，并且假设考生知道正确答案答对题的概率为1，猜中正确答案的概率为1m，其中m为多选项的数目。那么已知考生答对题目，求他知道正确答案的概率。
1、Conjugatepriors
m
Thereadingsforthisweekincludediscussionofconjugatepriors.Givenalikelihoodp(x|θ)foraclassmodelswithparametersθ,aconjugatepriorisadistributionp(θ|y)with
可修编
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hyperparametersγ,suchthattheposteriordistributionp(θ|X,Y)=αp(X|θ)p(θ|Y)=p(θ|Y,)
与先验的分布族相同
(a)Supposethatthelikelihoodisgivenbytheexponentialdistributionwithrateparameterλ:p(x|λ)=λe-λx
Showthatthegammadistribution
Gamma(λ|α,β)=Γβ(EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up10(α),α))λα-1e-βλ_
x,,xisaconjugatepriorfortheexponential.Derivetheparameterupdategiven
x,,x
1N
predictiondistributionp(x|x,,x).
N+11N
(b)Showthatthebetadistributionisaconjugatepriorforthegeometricdistributionp(x=k|θ)=(1-θ)k-1θ
whichdescribesthenumberoftimeacoinistosseduntilthefirstheadsappears,whentheprobabilityofheadsoneachtossisθ.Derivetheparameterupdateruleandpredictiondistribution.
可修编
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(c)Supposep(θ|Y)isaconjugatepriorforthelikelihoodp(x|θ);showthatthemixtureprior
p(θ|Y,...,Y)=wp(θ|Y)
1Mmm
m=1
is
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