专题09 刚体动力学（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优专练（高一上学期）（解析版）.docx

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2024-2025学年物理竞赛能力培优精练

专题09刚体动力学

1．（2023·北京强基计划）一根质量均匀的细杆一端铰接于地面，初始时竖直方向。收到微扰后在竖直平面内倒下，在这个过程中，杆内部（）

A．切向力最大离上端处

B．切向力最大离下端处

C．无切向力

D．内部传递力矩最大离上端处

E．内部传递力矩最大离下端处

【答案】E

【详解】ABC．记杆长为L，当杆倒下角时，以铰接点为参考，重力的力矩提供角加速度，由转动定律可得

解得

将距离铰接点的部分杆作为研究对象，该部分质量

质心加速度

加速度由切向力和重力提供（切向力T以垂直杆向下为正）

解得

因此，最小值出现在处，最大值出现在处。故ABC错误；

DE．考虑转动定律，角加速度由切向力T和切向力矩M提供

解得

可得最小值出现在两端，最大值出现在处。故D错误，E正确。

故选E。

2．（2022·全国强基计划）劲度系数为的弹性绳牵着一个质量的匀质圆柱体（圆柱体转动惯量），该柱体可以在倾角的斜面上做纯滚动，在圆柱体的平衡位置附近，圆柱体受到微扰的振动周期（）

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【详解】以刚体与平面接触位置为瞬时转动中心，在平衡位置附近的微扰仅有弹性绳中的弹力会对瞬心产生偏离平衡位置后的回复力矩。

由平行轴定理

得

由转动定理

得

圆柱体做纯滚动时，沿斜面方向加速度和角加速度满足

化简后可得

圆柱体做简谐运动，周期满足

结果与A选项相符。

故选A。

3．（2023·郑州竞赛）一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时速率应为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】杆对过杆的一端且与杆垂直的轴的转动惯量为

由能量守恒定律可知

解得

故上端到达地面时速率应为

故选B。

4．（2022·全国竞赛）竹蜻蜓由同材质的两个旋翼叶片与一根垂直杆组成，旋翼叶片为两片长为，宽为，面密度为的匀质长方形板，与水平面夹角皆为，杆子质量。时，以角速度，数值速度起飞，与密度为的空气发生弹性碰撞，在发生碰撞前，空气保持静止。求：

（1）竹蜻蜓绕杆的转动惯量；

（2）速度为，角速度为时竹蜻蜓受到的力与力矩情况；

（3）这个竹蜻蜓能够起飞至少要多大的？并求多大时竹蜻蜓最容易起飞。

【答案】（1）；（2）见解析；（3），

【详解】（1）对单块板如图建系

质量微元

单块板绕杆的转动惯量为

积分

考虑两个叶片

（2）仍然对处的微元分析（角速度逆时针方向为正），转动速度

平动速度

故其速度

由板的法向量

微元的速度在板法向投影为

为正时表示板下表面撞击空气；为负时表示板上撞击空气。讨论：

当，若，板上每一处的风力向下；

若，板上风力向下，风力向上???

当，若，板上每一处的风力向上；

若，板上风力向上，风力向下???

之后我们会发现，这个讨论非常重要

计算受力

在竖直方向投影

我们知道与的方向应该是相反的，但发现这个的式子关于没有体现出方向性，因此我们在后续的积分时要手动地加上正负号。

竹蜻蜓受力与力矩的大小（由于对称性，我们只需算力的竖直分量）：若板上处处受力方向一致

受力大小

受力矩大小

若板上处处受力方向一致，为表示方便，我们令

当然，还要考虑力和力矩的方向与重力，于是最后的答案如下

I

M

其中

（3）只要初始，并带入，有

因此只要

就能起飞。易知，当

上式的分母最大，最容易起飞。

5．（2020·攀枝花竞赛）如图所示。

（1）试（a）写出质量为M和边长为a的均匀正N边形（）空心棱柱（薄壁厚），绕中心轴O的转动惯量。

（b）使用问题（a）结果，或其它方法，（1）求正方形空心棱柱绕O轴的转动惯量；以及使用以上空心棱柱结果，或其它方法，（2）求正方形实心棱柱绕O轴的转动惯量。（c）分别求出正方形（1）空心棱柱和（2）实心棱柱，绕棱边角点P轴的转动惯量。

（2）设有（1）空心棱柱和（2）实心棱柱的均匀正方形，最初静止在倾角为的斜面上，其中心轴线是水平的。现在令棱柱沿斜面不均匀地自由滚动下来，而且在滚下过程中，摩擦力足以阻止该棱柱的任何滑动，使得其棱边在P处与斜面保持良好的接触。

（a）设棱边P撞击斜面之前和之后的瞬时角速度分别为和。若，试求系数

（b）设棱边P撞击斜面之前和之后的动能分别为和。若，试求系数k。

（c）为使棱柱能够进行接下来的碰撞，必须超过一个最小值。试以参量k和表示系数。

（d）如题（c）条件满足时，动能将接近一个固定值，使得薄壁棱柱能够滚下斜面。试以参量k和表示系数。

（e）试求出斜面的最小倾斜角度，使得棱柱的不均匀滚动一旦启动，将无限地继续下去。若有需要，可使用积分方程。