9.1 向量概念（分层练习）（解析版）.docxVIP

第9章平面向量

9.1向量概念

精选练习

基础篇

基础篇

1．下列命题中正确的是（????）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

【答案】A

【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；

两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；

两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；

与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.

故选：A

2．下列说法错误的是（????）

A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等

C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动

【答案】B

【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；

单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；

故选：B.

3．下列结论中，正确的是（????）

A．长的有向线段不可能表示单位向量

B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量

C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量

D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移

【答案】B

【解析】一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；

根据单位向量的知识可知，B选项正确；

方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量，

因此是平行向量，所以两向量为共线向量，故C错误；

根据位移的定义可知，向量表示这个人从A点到B点的位移，所以D错误.

故选：B

4．下列命题中正确的个数是（????）

①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；

②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；

③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；

④若，则，是相等向量或相反向量.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；

②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；

④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.

故选：B.

5．下列说法正确的是（????）

A．单位向量均相等 B．单位向量

C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则

【答案】C

【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；

对于B：单位向量.故B错误；

对于C：零向量与任意向量平行.正确；

对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.

故选：C

6．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.

【答案】

【解析】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示：

在中，，，所以.

故答案为：

7．在等边△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，写出一个与向量垂直的向量：______．（用字母作答）

【答案】??（答案不唯一）

【解析】如图，连接，

，

因为为等边三角形，D为中点，故，

所以与向量垂直的向量有（答案不唯一，，，，，，，也可以）．

故答案为：（答案不唯一）.

8．命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）

【答案】假命题

【解析】当向量时，若，可得；

当向量时，若，则与不一定共线，

所以命题为假命题.

故答案为：假命题

9．如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有________．（填序号）

①；②；③与共线；④．

【答案】①②③

【解析】对于①，与方向相同，长度相等，则，则①正确；

对于②，因为、、三点共线，则，则②正确；

对于③，，则与共线，则③正确；

对于④，、方向不相同，故，则④错误.

故答案为：①②③.

10．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.

(1)写出与向量共线的向量；

(2)求证：.

【答案】(1)，，；

(2)证明见解析.

【分析】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；

根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.

【解析】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，

所以四边形为平行四边形，所以.

所以与向量共线的向量为：，，.

（2）证明：在平行四边形中，，.

因为，分别是，的中点，

所以且，

所以四边形是平行四边形，

所以，，

故.

提升篇

提升篇

1．若为非零向量，则“”是“共线”的（????）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D