1.2 集合间的基本关系（七大题型）【含答案解析】.docx

1．2集合间的基本关系

【题型归纳目录】

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题

题型二：韦恩图及其应用

题型三：由集合间的关系求参数的范围

题型四：集合间的基本关系

题型五：判断两集合是否相等

题型六：根据两集合相等求参数

题型七：空集的性质

【知识点梳理】

知识点一．集合与集合的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．

记作：

读作：A包含于B（或B包含A）．

图示：

（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．

记作：A

读作：A等于B．

图示：

知识点诠释：

（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．

（2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．

知识点二．真子集

若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．

记作：A?B（或BA）

读作：A真包含于B（或B真包含A）知识点三．空集

不含有任何元素的集合称为空集，记作：．

规定：空集是任何集合的子集．

结论：（1）（类比）

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

（3）若则（类比，则）

（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．

【典型例题】

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题

例1．（2023·全国·高一课堂例题）集合的所有子集的元素的和等于．

【答案】672

【解析】集合的子集有以下情形；

空集；

含有元素1的子集有个；

含有元素2的子集有个；

含有元素3的子集有个；

含有元素4的子集有个；

含有元素5的子集有个；

含有元素6的子集有个，

所有子集的元素的和为．

故答案为：672.

例2．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）满足的集合的个数为．

【答案】8

【解析】∵

∴集合中至少有2个元素，最多有5个元素.

当集合中有2个元素时，集合可为：;

当集合中有3个元素时，集合可为：,,;

当集合中有4个元素时，集合可为：,,;

当集合中有5个元素时，集合可为：;

故答案为：8.例3．（2023·全国·高一假期作业）集合，则集合的子集的个数为.

【答案】4

【解析】由方程，解得或，即集合，

所以集合的子集为，共有4个子集.

故答案为：4.

变式1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则满足条件的集合的个数为个.

【答案】31

【解析】集合，，

由得,所以是的真子集

故有，

故答案为：31

变式2．（2023·全国·高一课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为．

【答案】36

【解析】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．

故所求和为为．

故答案为：36.

变式3．（2023·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.

【解析】集合的所有子集为；

集合的所有真子集为.

变式4．（2023·高一单元测试）已知集合，且；

(1)求实数；

(2)写出的所有真子集.

【解析】（1）因为，所以或，

当，即时，不满足集合元素的互异性；

当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或，

所以当时，，

综上实数.

（2）由（1）得，

所以的所有真子集为，，.

变式5．（2023·高一课时练习）写出下列集合的所有子集：(1)；

(2)；

(3)．

【解析】（1）由题得所有子集有..

（2）由题得所有子集有

（3）由题得所有子集有

【方法技巧与总结】

（分类讨论是写出所有子集的方法）

1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．

2、若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用．

题型二：韦恩图及其应用

例4．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是（填序号）.

【答案】②

【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}，

得N＝{﹣1，0}．

∵M＝{﹣1，0，1}，

∴N?M，

故答案为②．

例5．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）

A． B．C． D．

【答案】B

【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N?M，所以选B.

故选：B

例6．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】