专题02 复合函数以及嵌套函数的零点问题（4大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.docx

专题02复合函数以及嵌套函数的零点问题

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TOC\o1-1\h\u题型01复合函数的应用 1

题型02内外自复合型f(f(x)) 5

题型03内外双函数复合型f(g(x)) 8

题型04二次型因式分解型af(x)2+bf(x

题型01复合函数的应用

【解题规律·提分快招】

1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.

2.求复合函数单调性的步骤：

①确定函数的定义域

②将复合函数分解成两个基本函数分解成

③分别确定这两个函数在定义域的单调性

④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。

在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”

增

增

增

增

减

减

减

增

减

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.

【详解】在单调递减，时，,即,

另外，0a1时，单调递减，在单调递增，

综上所述，的取值范围是.

故选：A

2．（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论.

【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数，

当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则；

当时，要使（，且）在区间上单调递增，

则，则，综上，.

综上，实数的取值范围为.

故选：D

3．（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造并研究其奇偶性和单调性，由等价于，结合对数的性质即可确定参数范围.

【详解】令，易知其定义域为R，

，

所以为奇函数，且在上、、均递增，

所以在上单调递增，且函数在R上连续，故在定义域上递增，

由，

所以，显然该式在上恒成立，

所以.

故选：D

4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案.

【详解】的值域为，

当时，

则，为增函数，，

而时，为增函数，

此时，，不符题意；

当时，

则，为减函数，，

而时，为减函数，

此时，，

因为的值域为，当且仅当时，满足题意，

此时，，则，整理得，，解得；

综上，时满足题意.

故选：A

5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为．关于函数，则下列结论正确的是（???）

A．的值域为R B．是偶函数

C．不是周期函数 D．是单调递减函数

【答案】C

【分析】，求函数的值域可判断A；由与的关系可判断B；由是增函数且恒为正数，知的单调性，可判断D，进而可判断C.

【详解】由，

因为，所以，可得，即，故A项错误；

因为的定义域为R，且，所以是奇函数，故B项错误；

，因为是增函数，是增函数且恒为正数，所以是减函数，故是增函数，故D项错误；

由D项可知函数在R上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C项正确．

故选：C.

6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（????）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】D

【分析】根据题意可得函数在上递增，利用可得的值.

【详解】解法1：因为，

所以，

所以关于2,1对称.

因为，函数在区间上的值域为，所以.

解法2：因为在上递增，

所以.

解法3：取，因为在0,4上递增，

所以.

故选D.

题型02内外自复合型f(f

【解题规律·提分快招】

对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为.

注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·广东·期中）已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别讨论及，根据的值，确定实数的取值范围.

【详解】若，则，

而当时，当时，所以无解；

若，则或，

其中有一根为，则由题意知无解，

而当时，当时，所以的值域为，

从而，解得，所以.

综上，