专题四 二次函数综合题（含答案）2025年中考数学一轮题型专练（陕西）.docxVIP

（2024版）

专题四二次函数综合题

题型1二次函数的实际应用

二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.

类型1抛物线运动轨迹问题

(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1m时,达到最大高度3.2m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.

(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.

(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3m,CA=2m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?

解题指南(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.

(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.

类型2以建筑为背景的“过桥”问题

(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3m,AB=2m,窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258m.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.

(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?

解题指南(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.

(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.

(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24m,拱高PE=8m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.

(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:

方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6m.

方案二:矩形框架ABCD的周长记为C2,点A,D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=4m.

求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.

类型3以“悬挂线”为背景解决高度问题

如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12m.以点A为坐标原点,1m为单位长度构建平面直角坐标系.

(1)求点B,C,D的坐标.

(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100x2

(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12m.

(1)a=,该抛物线的顶点坐标为.?

(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线