专题五 综合与实践（含答案）2025年中考数学一轮题型专练（陕西）.docxVIP

（2024版）

专题五综合与实践

题型1几何图形等分问题探究

类型1等分三角形面积

【原创】(1)如图1,过△ABC的顶点A作一条直线,等分这个三角形的面积,并说明理由.

图1

(2)如图2,若D为△ABC边AC上任意一点,过点D作一条直线,等分这个三角形的面积,并说明理由.

图2

过三角形上任意一点等分该图形面积的两个关键步骤

(1)过哪一点就以哪一点为顶点构造三角形;

(2)构造三角形的过程中通过构造平行线的方式,借助“同底等高”进行面积转化.

类型2等分四边形面积

【原创好题】如图,M为平行四边形ABCD内任意一点,过点M作一条直线,将平行四边形ABCD的面积分成相等的两部分,并说明理由.

解题指南

作平分线(1)连接对角线AC,BD,找出平行四边形ABCD的中心点O

1.问题探究

(1)请在图1中作出两条直线,使它们将圆的面积四等分.

(2)如图2,M是正方形ABCD内一定点,请在图2中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.

图1图2

问题解决

(3)如图3,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且ba,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?若存在,求出BQ的长;若不存在,请说明理由.

图3

如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,S△ADCS△ABC,过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线?若能,请画出面积等分线,并给出证明;若不能,请说明理由.

解题指南第一步,连接AC,将四边形ABCD看作两个三角形的组合.

第二步,将四边形转换为三角形,进行面积分割,具体操作步骤如下:

①过点B作AC的平行线,与DC的延长线交于点E,连接AE,根据“同底等高”可以得到S△ABC=S△AEC;②等面积转换:S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

第三步,将四边形ABCD的面积转化为△AED的面积之后,寻找中点平分即可.

2.【原创好题】如图,若P为四边形ABCD边AD上的任意一点(不与点A,D重合),过点P作一条直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分,并说明理由.

以特殊四边形为背景的面积平分问题的三点注意事项

(1)平分面积本质就是抓住图形的“中心对称性”;

(2)过任意一点平分特殊四边形面积时,只需找出该四边形的对称中心;

(3)连接任意点与对称中心的直线则平分特殊四边形,其证明思路就是运用全等进行等面积转换.

类型3面积、周长等分问题

【原创】如图,△ABC的面积为16,周长为20,sinB=23,能否在AB上找一点E,在BC上找一点F,使得线段EF既平分△ABC的面积,又平分△ABC的周长?若存在,请求出线段BF的长;若不存在,请说明理由.

(2024·交大附中模拟)【问题引出】

(1)如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=8,若D为AC边上一点,BD平分△ABC的面积,则BD的长为.?

【问题延伸】

(2)如图2,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,点D在BC边上,且BD=1,若P为AC边上一点,DP平分△ABC的面积,求AP的长.

【问题拓展】

(3)如图3,四边形OABC在平面直角坐标系中,点A,B在第一象限,点C在x轴上,已知∠AOC=60°,∠OAB=150°.∠ABC=120°.OA=2,OC=10.若P为OC边上一点.且BP平分四边形OABC的面积,求点P的坐标.

(2024·铁一中模拟节选)拓展应用:如图,某公园的一块空地由三条道路围成,即线段AB,BC,AC.已知AB=160m,BC=120m,∠ABC=90°,AC的圆心在AB边上,现规划在空地上种植草坪,并从AC的中点P修一条直路PM(点M在AB上).是否存在PM,使PM平分该空地的面积?若存在,求出此时AM的长;若不存在,请说明理由.