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非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

一元二次函数、方程和不等式,2.2,基本不等

式,2.2.1,基本不等式教案

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式（共2课时）

2.2.1基本不等式（第1课时）

1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)2．理解并掌握基

本不等式及其变形．(逻辑推理)3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值

问题．(数学运算)4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等

式．(逻辑推理)5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问

题．(数学运算)1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此

不等式求某些简单函数的最值；

2.教学难点：基本不等式等号成立条件；

多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、情景导学如

图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代

数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自

世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．思考1：这

图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不

等关系吗？（二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的风“

车”抽象成如图，在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

两条直角边长为,（）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的

面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正

方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角

三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当时

的图像）

2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数,，我们有，当

且仅当时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为，

当且仅当时等号成立4．（1）基本不等式：如果,,我们用、分别代替、，可

得，通常我们把上式写作：基本不等式（,)（当且仅当时，取等号）

5.基本不等式：（1）在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的

几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的

几何平均数.此不等式又叫均值不等式。

（2）从不等式的性质推导基本不等式如果学生类比重要不等式的证

明给出证明，再介绍书上的分析法。

用分析法证明：证明不等式证明：要证只要证只要证只要证显

然，是成立的．当且仅当时，（3）中的等号成立．【归纳总结】1、由

图我们得到了重要不等式：

通过换元我们得到了基本不等式：

（2）两个不等式的区别和联系：区别：,范围不同;联系:等号成立的

条件相同（3）从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；

从数的角度来看，基本不等式揭示了和“”与积“”这两种结构间的不等

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

关系（三）典例解析利用基本不等式求最值解析：

解析：

基本不等式的使用条件解析：

解:∵,当且仅当2x=(1-2x),即时,取“=”号.∴当时,函数y=x(1-2x)的最

大值是.跟踪训练通过介绍第24届国际数学家大会会标的背景，进行

设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学

抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。

通过图形得到了重要不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，

再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还

可以从中学习到分析法证明的大体过程，培养和发展数学抽象和逻辑推理

的核心素养，增强数形结合的思想意识。

从不同的侧面理解不等式，培养学生数形结合的思想意识。