2.2 基本不等式（六大题型7个方向）.docxVIP

2．2基本不等式

【题型归纳目录】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

题型二：利用基本不等式比较大小

题型三：利用基本不等式证明不等式

题型四：利用基本不等式求最值

1、直接法求最值

2、常规凑配法求最值

3、消参法求最值

4、换元求最值

5、“1”的代换求最值

6、法

7、条件等式求最值

题型五：利用基本不等式求解恒成立问题

题型六：基本不等式在实际问题中的应用

【知识点梳理】

知识点一：基本不等式

1、对公式及的理解．

（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．

2、由公式和可以引申出常用的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：．

知识点二：基本不等式的证明

方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：

如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．

通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）

方法二：代数法

∵，

当时，；

当时，．

所以，（当且仅当时取等号“=”）．

知识点诠释：

特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：

如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．

通常我们把上式写作：

如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．

知识点三：基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．

易证，那么，即．

这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．

知识点诠释：

1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．

知识点四：用基本不等式求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．

知识点诠释：

1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．

2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．

3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．

4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值．

5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案．【典型例题】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

例1．（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（????）．

A． B．

C． D．

例2．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（????）

A．如果，且，那么

B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立

C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立

D．当，时，

例3．（2023·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（????）

①已知，则成立；

②已知且，则成立；

③已知，则的最小值为2；

④已知，，则成立．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式1．（2023·全国·高一专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（????）A．若，则

B．若，则由知，的最小值为1

C．若，则

D．若，则

变式2．（2023·高一课时练习）给出下面三个推导过程：

①∵a、b为正实数，∴＋＝2；

②