北京市八一学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷 Word版含解析.docx

北京市八一学校2025届高三年级12月月考

2024.12.04

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合，，且，那么值可以是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【详解】解：因为,故集合B能取遍一切小于等于1的实数，则m1,故选D

2.下列函数中，定义域为的奇函数是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据常见函数的定义域及奇偶性判断各选项即可.

【详解】对于A，函数的定义域为，为偶函数；

对于B，函数的定义域为，为奇函数；

对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数；

对于D，函数的定义域为，

因为为奇函数，所以函数为奇函数.

故选：D.

3.已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件计算出的值，再根据渐近线方程为可求结果.

【详解】因为的一个焦点是，所以，所以，

所以渐近线方程为，即为，

故选：B.

4.已知函数，则下列结论错误的是（）

A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称

C.的一个零点为 D.在上单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】利用辅助角公式计算可得，可判断A正确，由对称轴方程可得B正确，令代入验证可得C正确，再由余弦函数单调性可判断D错误.

【详解】由可得，

对于A，因此的最小正周期为，可得A正确；

对于B，易知的对称轴方程为，解得，

当时，可得，即的图象关于直线对称，即B正确；

对于C，易知，

令，即，当时可得，

因此的一个零点为，即C正确；

对于D，当时，，

结合余弦函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增，即D错误.

故选：D

5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

6.已知与是非零向量，且，则是与垂直的（）

A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；

C.充要条件； D.既不充分也不必要条件．

【答案】C

【解析】

【分析】利用条件证明必要性和充分性即可.

【详解】因为与是非零向量，且，当时，

，

所以与垂直，故充分性成立，

若与垂直，

则

因为与是非零向量，且，

所以，

所以必要性成立，

故若与是非零向量，则是与垂直的充要条件，

故选：C.

7.已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出．

【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．

即为．

由，解得．

故选：A．

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．

8.直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.

【详解】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足题意；

当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线有且仅有一个公共点.

综上可得，满足条件的直线共有3条.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.

9.已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）

A.2 B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的定义可得，结合图形即可得结果.

【详解】题意可知：抛物线的焦点为，准线为，

则，

所以的最小值即为点到直线的距离为.

故选：D.

10.已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解.

【详解】由题意得：，所以圆心，半径，

由两圆相交于、两点可知：，

所以的面积，

因为是半径为的圆，所以，

当时，，

又，

此时由，解得，，故可以取最大值，

所以当时，最大，且是锐角，