第01讲 数列的概念与简单表示法 (高频考点—精练）（解析版）.docx

第01讲数列的概念与简单表示法(精练）

A夯实基础

一、单选题

1．（2022·全国·高二课时练习）现有下列说法：

①元素有三个以上的数集就是一个数列；

②数列1，1，1，1，…是无穷数列；

③每个数列都有通项公式；

④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；

⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．

其中正确的有（????）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；

对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；

对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，

依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；

对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，

即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；

对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，

所以说法正确的个数是1.

故选：B

2．（2022·全国·高二课时练习）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5，9，14，20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为，则（????）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【详解】解：观察梯形数的前几项，得：

…

由此可得

故选：D．

3．（2022·全国·高二课时练习）数列满足，若，，则=（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【详解】解：因为，，，

则，

，

，

，

，

，

.

故选：C.

4．（2022·贵州·高二学业考试）设数列满足，则（????）

A．0 B．4 C．5 D．8

【答案】B

【详解】由题意得：.

故选：B.

5．（2022·北京丰台·高二期末）设是数列的前n项和，若，则（????）

A．-21 B．11 C．27 D．35

【答案】B

【详解】由得，，所以,

故选：B

6．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵a1=1，－=1，

∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴，即，

∴（）.

当时，也适合上式，.

故选：A.

7．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则（????）．

A．659 B．661 C．663 D．665

【答案】D

【详解】因为，所以，，…，

，

所以，故．

故选：D.

8．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}的前n项和为＝，=（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：当时，，解得，

当时，，即，

∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．（2022·广东·顺德市李兆基中学高二期中）已知数列的通项公式为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】BC

【详解】由题，

，

故A错；，故B对；

，故C对；

，故D错.

故选：BC

10．（2022·全国·高二期末）数列的前n项和为，已知，则（）

A．是递增数列 B．

C．当时， D．当或4时，取得最大值

【答案】BCD

【详解】解：因为，当时，当时，所以，当时也成立，所以，所以，即是递减数列，故A错误；，故B正确；令，解得，故C正确；

，所以当或时，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

11．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知数列，，，则数列的通项公式为______.

【答案】##

【详解】由得，又

故是以公比为2的等比数列，且首项为，因此，故,

故答案为：

12．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则_______.

【答案】50

【详解】根据题意，令，得

因为，所以，又，

所以是首项为的常数列，故，即，故，

所以.

故答案为：50.

四、解答题

13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令

(1)求证：是等比数列；

【答案】(1)证明见解析

（1）证明：，，①②①-②得，经检验，当时上式也成立，即.所以即，且.所以是首项为3，公比为3的等比数列.

14．（2022·全国·高二期末）已知数列满足

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

（1）当时，

当时①

②

①减②得，则

因为当时，符合上式，所以

B能力提升

15．（2022·全国·高二课时练习）如图，在谢宾斯基三角形中，

(1)每个三角形中黑色小三角形的个数依次构成数列，求的通项公式；

(2)当时，求在大黑色三角形内共去掉几个小三角形的个数．

【答案】(1)

(2)

(1)

根据所给图形规律可知：