三角形四心与奔驰定理课件-2025届高三数学一轮复习.pptxVIP

三角形四心问题与奔驰定理高中必会系列之

四心知识整理

三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。外心定义性质1.三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R

内心定义性质三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC=90°+∠A/2，∠BOA=90°+∠C/2，∠AOC=90°+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2(r是内切圆半径)

垂心定义性质三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为——垂心组)。6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

重心定义性质三角形的重心是三角形三条中线的交点。1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心和三角形任意一顶点的连线所在直线将三角形面积平分。6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

奔驰定理与三角形的四心

（四心在三角形内部）

一、重心与奔驰定理依题意，可得56a＝40b＝35c，

二、外心与奔驰定理依题意得，sin2A∶sin2B∶sin2C＝1∶1∶λ，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，

三、内心与奔驰定理√所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，

四、垂心与奔驰定理依题意，可得tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，代入tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，可得6tanA＝6tan3A，因为tanA≠0，所以tanA＝±1.又因为tanAtanBtanC，

跟踪训练∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.解得m＝4.

√跟踪训练

5根据奔驰定理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB＝1∶3∶5，跟踪训练