高等量子力学--第二章-算符(课堂PPT).ppt

由此得(2.27)*(2.28)*三、幺正变换从幺正算符的性质可知，幺正变换不改变矢量的模，也不改变两矢量的内积，从而不改变正交关系。因此一组基矢经过幺正变换之后仍是这个空间的基矢。从这一点来看，在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量（在多维空间中）的转动。*现在，用幺正算符对空间中全部矢量进行幺正变换：（2.29）（2.30）(2.29)和(2.30)两式就是矢量与算符的幺正变换。由此可以看出，一个包含矢量和算符的关系式，经过幺正变换之后其形式不变。*§2-5投影算符（2.31）*它作用在任意右矢上得*投影算符的性质：（1）投影算符是线性算符；（2）投影算符是厄米算符；右方确实是实数。对于其它投影算符也可以同样证明。*（3）投影算符的重要性是它的幂等性，即*（4）完全性我们也可以讨论投向整个空间的投影，这时投影算符是右边取和是对所有基矢。这个投影算符对空间中任何矢量的作用是（2.32）*这正是完全性定理中的Parseveal等式。上式左方是一个向整个空间投影的投影算符。既然是向全空间投影，矢量投影后就不会发生任何变化。注意（2.32）式的关键是空间的基矢一个都不能少，否则就不能构成完全性关系。**§2算符§2-1定义主要内容：§2-2算符的代数运算§2-3作用于左矢的算符§2-4厄米算符和幺正算符§2-5投影算符*算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。§2-1定义在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。*一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的，称为线性算符：(2.1)满足下列二条件的，称为反线性算符：(2.2)其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线性算符，下面我们只讨论线性算符。算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢）中每个右矢的作用结果即可。*线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是它的一个子空间。可以证明，线性算符具有下列性质：（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。（2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于定义域空间的维数。（3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也构成一个右矢空间（定义域的子空间）。复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：其中两个特殊的算符：*这时我们记作*则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。定义：(2.2)经常使用的几个对易关系：*由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：等等。可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问题），例如可以写(2.3)*注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式*不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：*定理设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另外两个线性算符B和C存在，满足AB=1,CA=1(2.4)则算符A有逆，而且证明:我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。*定理证毕。*§2-2算符的代数运算在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算，在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。（2.5）………………..….*例1：证明：（2.8）证明：用数学归纳法证明，当n=1时上式为原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形式的式子。将原式从左方用A作用，得*在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得这是与原式完全相同的形式，只是