《量子力学》第9讲力学量完全集与守恒量.pptx

1回顾算符的对易关系：坐标动量基本对易关系厄米算符定义厄米算符的性质厄米算符的本征值及本征态：角动量算符、及对易关系

2连续谱本征函数的归一化

3算符的对易关系——不确定度关系算符的对易关系——共同本征函数

4四、共同本征函数(10)算符本征值的简并度?

5量子力学力学量完全集与守恒量

6目录一、态叠加原理与力学量完全集二、守恒量与力学量完全集三、守恒量与能级简并四、习题

7一、态叠加原理与力学量完全集（1）在?中测量力学量A取An的概率。

8一、态叠加原理与力学量完全集（2）

9一、态叠加原理与力学量完全集（3）

10一、态叠加原理与力学量完全集（4）

11一、态叠加原理与力学量完全集（5）简并态的选择是不唯一的！

12一、态叠加原理与力学量完全集（6）

13一、态叠加原理与力学量完全集（7）

14一、态叠加原理与力学量完全集（8）

15一、态叠加原理与力学量完全集（9）

16一、态叠加原理与力学量完全集（10）一维无限深势阱角动量算符的共同本征函数

17二、守恒量与力学量完全集（1）

18二、守恒量与力学量完全集（2）

19二、守恒量与力学量完全集（3）

20守恒量的概率分布随时间的变化(1)考虑到[A，H]＝0，我们可以选择包括H和A在内的一组力学量完全集（守恒量完全集），其共向本征态记为?k(k是一组完备的量子数的简记)，即在?(t)态下，在t时刻测A得Ak的概率为lak(t)l2

21守恒量的概率分布随时间的变化(2)如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态(定态或非定态),A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变．所以把A称为量子体系的一个守恒量

22量子力学中守恒量与经典力学的区别（1）与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值、即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态对于自由粒子：如果初始时刻体系处于守恒量的本征态，则体系将保持在该状态。守恒量的量子数称为好量子数。

23守恒量并不都能同时取确定值。因尽管它们都与对易，但它们之间可能不对易。如都是守恒量，但彼此不对易，不能同时取确定值。??量子力学中守恒量与经典力学的区别（2）

24定态和守恒量定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，它与体系的Hamilton量对易。在定态下，一切力学量(不显含t，不管是否守恒量)的平均值和测值概率分布都不随时间改变，这正是称之为定态的理由．而守恒量则在一切状态下(不管是否定态)的平均值和概率分布都不随时间改变，这正是称之为量子体系的守恒量的理由．

25三、守恒量与能级简并（1）

26三、守恒量与能级简并（2）

27例题例一、试求在不对称势阱中束缚态粒子的能级。

28解题的思路1、根据题目要求写出哈密顿算符，具体说就是写出势能项：。2、求解方程。注意：多利用物理条件来求解。3、对解的讨论。

29（1）写出不同区域的方程II：Ⅰ：III:

30（2）求出不同区域的解II：Ⅰ：III:为什么不是为什么不是

31（3）利用波函数的连续性条件获得能级方程x=0处连续条件:x=a处连续条件:

32（3）利用波函数的连续性条件获得能级方程

33（3）利用波函数的连续性条件获得能级方程根据齐次线性方程组的有解条件：

34能级方程：

35习题2试计算受到力作用的一个粒子的能量本征函数和能量本征值。提示：势能

36解答首先计算势能作为势能零点，得到新的势能表达式

37解答体系的哈密顿算符写为：定态薛定谔方程写为：

38解答化简为：线形谐振子的定态薛定谔方程为：对比两个方程可得到上面方程的解为：

39解答能量为：

40题、在时间t=0时，一维线性皆振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：其中un(x)为第n个时间无关的本征函数。(1)求C3的值；(2)写出t时刻的波函数；(3)在t=0时的振子能量的期望值为多少？t=1时又如何？

41解题思路：题设的状态是一个混合态（由几个本征态组合而成）。第一小题用波函数的归一化条件即可解决；第二小题只要在每一项添上波函数的时间因子；第三小题直接利用定义即可。

42解：

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