《量子力学》第13讲表象变换.pptx

1量子力学第十三讲表象变换

2目录零、三维各向同性谐振子的回顾一、表象及其变换二、算符的矩阵表示三、量子力学的矩阵形式四、例题

3零、三维各向同性谐振子的回顾(1)三维各向同性谐振子在球坐标下的解：与相对应的本征函数为：

4零、三维各向同性谐振子的回顾(2)三维各向同性谐振子在直角坐标下的解：

5零、三维各向同性谐振子的回顾(3)选取组成力学量完全集。其共同本征函数为各自本征函数的乘积，即：即：

6零、三维各向同性谐振子的回顾(4)总能量本征态为线性谐振子解总能量本征值为

7零、三维各向同性谐振子的回顾(5)直角坐标系下解和球坐标系下解的关系：球坐标下为的共同本征态。直角坐标下为的共同本征态。因为是同一问题在不同坐标系下的解，应该有相互联系以为例，能级是三重简并，即有三个态：可证明：

8一、表象及其变换(1)设代表一组力学量完全集，即是的共同本征函数，一般代表一组量子数。设代表一组力学量完全集，即是的共同本征函数，一般代表一组量子数。设是体系的一个量子态，根据态叠加原理，有：同时称(1)和(2)式分别为态在和表象中的展开式。

9一、表象及其变换(2)所谓表象，就是量子态的具体表示方式。称和为态在和表象中的表示因为所以和必定有一定的关系，这种变换关系即为表象变换。

10一、表象及其变换(3)矢量在不同坐标系下的变换：矢量在中，有矢量在中，有设，可证明存在一个有：称为幺正矩阵

11一、表象及其变换(4)以左乘上式，即全空间积分有：将写为矩阵形式即

12一、表象及其变换(5)所以任一量子态在表象中的表示可以通过矩阵变换成表象中的表示其中：，即可证明：即变换矩阵是幺正矩阵。称上述变换为幺正变换

13一、表象及其变换(6)所以任一量子态能够用任一力学量完全集的共同本征函数（它们构成一组正交归一完备基矢）来展开展开系数，称为在表象中的表示。同样可以在表象中展开为：展开系数为，为在表象中的表示，这两种表示可以通过一种幺正变换相联系。即其中：

14二、算符的矩阵表示(1)设为某一力学量的算符，量子态经过运算后变成另一量子态，即，设在表象的基矢为，将和用展开，有，其中列向量和分别为和在表象中的表示。其中：为在表象中的表示。

15二、算符的矩阵表示(2)为在表象中的表示。矩阵就是在表象中的矩阵表示。在表象中，同样有：矩阵就是在表象中的矩阵表示。

16二、算符的矩阵表示(3)对量子态和算符，在表象(基矢)中，有对量子态和算符，在表象(基矢)中，有已知和可以通过幺正变换相联系，即幺正矩阵可证明，矩阵和可以通过幺正矩阵相似变换相联系：

17二、算符的矩阵表示(4)例题：求坐标、动量和哈密顿算符在一维谐振子能量表象中的矩阵表示。【解】：一维谐振子能量表象的基矢为其能量本征函数，有如下性质：坐标在此表象中矩阵表示的矩阵元为：

18二、算符的矩阵表示(5)